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Décomposition en éléments simples

Bonjour,
Je voudrais écrire $\frac{(z-\overline{p_1})(z-\overline{p_2})}{(1-p_1z)(1-p_2z)}$ sous la forme de $\frac{a}{1-p_1z}+\frac{b}{1-p_2z}$, où $a$ et $b$ sont deux constantes à déterminer.
J'ai trouvé \begin{gather*}
a=\frac{(1-|p_1|^2)(1-p_1\overline{p_2})}{p_1(p_1-p_2)}\\
b=\frac{(1-\overline{p_1}p_2)(1-|p_2|^2)}{p_2(p_2-p_1)}
\end{gather*}
Est-ce que c'est correct? (Car en essayant de calculer $a+b$, au lieu de trouver $\overline{p_1}\overline{p_2 }$ je trouve à la place $\overline{p_1}\overline{p_2 }-\frac{1}{p_1p_2}$. Et je n'arrive pas à trouver mon erreur si c'est dans le développement de $a+b$ ou si c'est les expressions de $a$ et $b$ qui sont incorrectes.)
Merci d'avance !

Réponses

  • Bonjour.

    A vue de nez tu as une erreur, car si on échange $p_1$ et $p_2$, ça échange $a$ et $b$, qui devraient donc avoir une expression symétrique en $p_1$ et $p_2$. Erreur sur un indice ?
    Erreur de lecture de ma part.

    Cordialement.
  • Désolé, je ne trouve pas mon erreur...
    Voici ce que j'ai fait pour trouver $a$.
    $$\lim_{z\to1/p_1}(1-p_1z)\frac{(z-\overline{p_1})(z-\overline{p_2})}{(1-p_1z)(1-p_2z)}=a$$
  • Il ne manque pas un terme constant, au pif $\frac{1}{p_{1} p_{2}}$ ?
    Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
            -- Schnoebelen, Philippe
  • $A(z)=B(z)Q(z)+R(z)$ avec $\deg R<\deg B$ entraine $\frac{A}{B}=Q+\frac{R}{B}$. Dans ton cas, quel est $Q$?
  • Dans ta somme.
    Si $z$ est un réel, regarde la limite en $+\infty$.
    Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
            -- Schnoebelen, Philippe
  • Donc, c'est $$\frac{(z-\overline{p_1})(z-\overline{p_2})}{(1-p_1z)(1-p_2z)}=\frac{1}{p_1p_2}+\frac{a}{1-p_1z}+\frac{b}{1-p_2z}
    $$ où \begin{gather*}
    a=\frac{(1-|p_1|^2)(1-p_1\overline{p_2})}{p_1(p_1-p_2)}\\
    b=\frac{(1-\overline{p_1}p_2)(1-|p_2|^2)}{p_2(p_2-p_1)}
    \end{gather*}
    Merci à tous !
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