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Résolution du paradoxe de l’interrogation(V2)

Bonjour,
Ce nouvel article, démontrant que le problème de l’interrogation surprise n’est pas un paradoxe, est construit uniquement sur une démarche de pure logique. La conclusion de ce raisonnement n’est pas « il ne peut pas y avoir d’interrogation surprise le dernier jour (le samedi) », mais « l’interrogation surprise a lieu l’un des cinq premiers jours de la semaine ».
Cette conclusion a bien sûr pour conséquence que « l’interrogation ne peut pas avoir lieu le dernier jour », mais cette assertion n’est qu’une « petite partie » de la conclusion logique rigoureuse. Et son utilisation exclusive va conduire à des erreurs de raisonnement.

En résumé,
• d’une part, cette conclusion logique complète « l’interrogation surprise a lieu l’un des cinq premiers jours de la semaine » prouve qu’il n’y a pas de paradoxe ; 
• et d’autre part, cette assertion permet de mettre en évidence les erreurs de logique contenues dans les raisonnements traditionnels par récurrence.

L’article ci-joint se compose de deux parties ; la première décrit le raisonnement logique rigoureux qui conduit à la conclusion, présentée ci-dessus, et la seconde, après un développement plus détaillé de la démarche précédente, met en évidence les erreurs commises dans les raisonnements par récurrence habituels.

Réponses

  • Re Bonjour,
    Il y a manifestement eu un problème avec le fichier joint (seule la première ligne apparait sur le site) donc je recharge de fichier.
    Avec toutes mes excuses.
  • @Desi14 : j'ai lu ton papier mais je ne suis pas trop d'accord avec ton analyse. Deux réflexions en vrac, je développerai ensuite :
    1) Pour moi la logique mathématique est inapte à résoudre ce problème, il y a forcément une dimension psychologique.
    2) La récurrence n'a rien à voir là-dedans. La récurrence c'est fait pour les raisonnements infinis, or la semaine n'a qu'un nombre fini de jours. On aurait le même problème s'il y avait cours tous les jours de l'année et si on disait que l'interro surprise (unique) aurait lieu entre le 1er janvier et le 31 décembre. Quand on dit "par récurrence on arrive jusqu'au lundi", c'est une façon raccourcie de prolonger le raisonnement du samedi au vendredi puis au jeudi. On pourrait l'écrire à la main sans invoquer le principe de récurrence.

    Le point 2) est trivial, je m'explique donc sur le point 1).
    Tout dépend du niveau d'intelligence des élèves de Monsieur Martin. Si la classe est composée de parfaits abrutis, il peut même coller son interro le samedi, personne n'y verra que du feu. S'il y a dans la classe un élève un peu plus intelligent que les autres, il va convaincre ses camarades que l'interro aura lieu entre le lundi et le vendredi. Si l'élève est encore plus intelligent il va pousser le raisonnement jusqu'au vendredi, and so on.
    Mathilde est super-intelligente : elle a poussé le raisonnement jusqu'au lundi. Manque de pot elle s'est fait démolir par le coup de l'interro surprise du mercredi à 14h30.
    Mais si elle avait été ultra-intelligente elle aurait même prévu ce coup-là.

    Problème : le prof ne peut pas être sûr du potentiel intellectuel de ses élèves. Donc il joue avec le feu. Par exemple si le meilleur élève de la classe pousse le raisonnement jusqu'au vendredi et si l'interro tombe le jeudi, il va prouver au prof qu'il le savait à l'avance. Et si Mathilde est ultra-ultra-intelligente elle adaptera son raisonnement à la situation, en se faisant éventuellement passer pour plus bête qu'elle n'est.

    Ma conclusion : nous, logiciens, sommes incompétents à résoudre ce problème. Il relève des psychologues, voire même des spécialistes en cognitivité.
  • J'ajoute que le raisonnement sur la semaine de 2 jours (lundi-mardi) me paraît bidon. Si l'élève raisonne comme Mathilde (adapté à 2 jours), le père Martin peut même coller son interro le mardi, et il surprendra tout le monde.
  • En gros le seul point où je suis d'accord avec toi c'est s'il n'y a cours que le lundi. Là, OK.
  • Le paradoxe de l'interrogation surprise est un sujet récurrent, abordé récemment sur le forum (il y a quelques mois je crois). L'une des difficultés est de le formaliser.

    Tentons une modélisation:

    Il y a:
    -Un "professeur" qui affronte des "élèves" et un huissier qui arbitre le jeu.
    Dans un premier temps le professeur remet un numéro secret de son choix à l'huissier (un entier de 1 à 7).
    Ensuite il y a 8 étapes numérotées de 0 à 7. Chaque élève peut miser une seule fois, lors des étapes 0 à 6.
    Donc à l'étape $0$, des élèves peuvent miser (montant des mises et des gains à discuter).
    Si le numéro est égal à 1, les élèves qui ont misé à l'étape gagnent, les autres sont éliminés. Sinon on passe à l'étape 1.
    Les élèves qui n'ont pas misé à l'étape $0$ peuvent miser à l'étape 1 et ainsi de suite:
    à l'étape $k\geq 1$, les élèves qui ont misé pendant l'étape $k$ gagnent si le numéro secret est $k+1$ sinon ils sont éliminés.

    1°) Quelles sont les stratégies optimales:
    -pour le professeur?
    -pour les élèves?

    (ça m'a tout l'air d'être un jeu à stratégie mixte)

    2°) Ce jeu est-il une modélisation fidèle du "paradoxe de l'interrogation surprise"?
  • @Foys : qu'appelles-tu un jeu à stratégie mixte ?
  • @Martial: c'est un jeu à information imparfaite où les stratégies optimales sont probabilistes (le dilemme du prisonnier par exemple).
  • Si je lance un dé (équilibré comme on dit...) numéroté de 1 à 6 et que la face 2 sort: est-ce que je dois être surpris? Si c’est un 7 alors là c’est clair que je suis surpris et je me demande où est le truc.:-D
  • Bonjour,

    ce problème n'a d'intérêt que dans la solidarité. Chaque élève prend un jour. Et le prof perd forcément.
  • Quelqu'un pourrait-il m'indiquer s'il y a une erreur dans le raisonnement suivant ?

    [ c'est le résumé de ce que j'ai écrit précédemment]
    [précision : pour moi « surprise » signifie « imprévisible », « qui ne peut pas être connu avant que l’évènement se produise »]


    Le bon raisonnement logique qui démontre qu’il n’y a pas de paradoxe est le suivant

    Le vendredi soir, on suppose que l’hypothèse A est vraie
    A = (l’examen n’a pas eu lieu lundi) ET (l’examen n’a pas eu lieu mardi) ET .. (l’examen n’a pas eu lieu vendredi)

    ensuite on en déduit SI (A est vrai) ALORS (B est vrai)
    avec B = (l’examen doit avoir lieu samedi)

    Mais l’examen ne peut pas avoir lieu samedi, car ce ne serait pas une surprise
    donc B est FAUX

    La conclusion logique est que, dans une proposition [SI "x" ALORS "y"], lorsque "y" est faux cela implique que "x" soit aussi faux. La proposition « l’examen n’a pas eu lieu dans les 5 premiers jours de la semaine » étant fausse cela signifie que « l’examen a eu lieu un des 5 premiers jours de la semaine ».
    La bonne conclusion logique du raisonnement est « l’examen a eu lieu un des 5 premiers jours de la semaine ». [et le jour de l’examen a été une surprise, car il est imprévisible]

    Cela entraine, accessoirement, que l’examen ne peut pas avoir lieu le samedi, mais ce n’est qu’une conséquence du fait que : le vendredi soir, l’examen a déjà eu lieu, donc il ne peut pas avoir lieu une deuxième fois].
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