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La distance entre un fermé et la boule unité

Salut à tous.
J'ai besoin d'indications en cette question
Soit $E = \{ f\in C([0,1], \mathbb{R}) \}$ et $F = \{ f\in E \mid \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}f(\frac{1}{n}) =0\}$.
Montrer que $\forall g\in B(0,1)\, d(g,F)<1.$

Réponses

  • Bonjour

    Quelle est la distance choisie sur l'ensemble $E$?
  • La distance issue de la norme sup.
    S'il vous plaît comment peut on justifer que la distance atteint ses extrémas?
  • Bonsoir,
    Soit $g\in E\:$ tel que $\|g\|_{\infty}<1.$
    Notons: $S := \displaystyle \sum _{n=1}^{+\infty} \dfrac 1 {n^2} , \quad a: =\dfrac{1-\|g\|_{\infty}}2.\quad $ Soit $f:[0;1] \to \R$ définie par $f(x) = \left\{\begin{array}{cl} a & \text{si}\: 0\leqslant x \leqslant \dfrac 12 \\a( -2Sx +S+1)& \text{si}\dfrac 12 \leqslant x \leqslant 1 \end{array}\right.$
    Alors $\boxed{ f \in E}, \qquad \displaystyle \sum _{n=1}^{+\infty}\dfrac 1{n^2} f\left(\dfrac 1n \right) =f(1)+a\sum _{n=2}^{+\infty}\dfrac 1{n^2} = a(1-S)+a(S-1) =0 , \quad \boxed{f \in F},$
    $|f(1)| = (S-1)a<a, \:\:\ |f(0)| = a=\|f\|_{\infty}, \quad \|g-f\|_{\infty}\leqslant \|g\|_{\infty} +\|f\|_{\infty} = (1-2a)+a= \dfrac {1 + \|g\|_{\infty}}2<1,\qquad \boxed{d(g,F)<1}.$
  • Merci LOU16,
    S'il vous plaît. Si on modifie l'espace de base $E$ en
    $$E = \{ f\in C([0,1]), \mathbb{R} \mid f(0)=0\}$$
    C'est quoi f construite dans ce cas ?
  • Bonjour,

    Si j'ai bien compris la question, je te suggère la fonction $f$, affine sur chacun des intervalles $\left[0;\dfrac 13\right],\left[\dfrac 13;\dfrac 12\right ] ,\left[\dfrac 12;1\right], \:$ et telle que $ f(0) = f\left(\dfrac 13\right) =0, \: f\left(\dfrac 12\right)=a, \: f(1) = - \dfrac a4\:$ où $\: a = \dfrac {1-\|g\|_{\infty}}2.$
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