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Limite de $f (x)-f(y)$

Bonjour, je me pose une question.

Si $f $ est une fonction numérique bornée, qu'est ce qu'on peut dire de \[\lim_{y,x\to+\infty}|f(x)-f(y)|

\] Personnellement je dirais rien car j'ai regardé la fonction $f(x)=\sin(x) $, mais peut-être je me trompe.
Merci d'avance pour votre aide.

Réponses

  • Difficile de répondre à « qu’est-ce que l’on peut dire ? » ou plutôt on peut répondre une infinité de choses.

    Existence de la limite :
    Comme tu le suggères, elle n’existe pas toujours.

    Quand elle existe :
    En cas d’existence, on peut majorer cette limite.
  • \[\lim_{y,x\to+\infty}|\sin(x)-\sin(y)|\leq2\]
  • En fait je m'intéresse au cas où $f $ n'admet pas forcément de limite.
    En fait j'ai une équation de Volterra
    \[f(x)=f_0(x)+\int_0^xk (x-t)f(t)dt\] où $k $ est intégrable et converge vers $0$ à l'infini et $f $ bornée. De plus $f_0$ converge à l'infini.
    Mon objectif est de montrer que $f $ admette une limite finie à l'infini. Pour cela j'ai pensé au critère de Cauchy et j'obtiens un terme du genre pour $y>x $
    \[\int_0^xk(u)\big(f(y-u)-f(x-u)\big)du\] que je veux montrer que ça tende vers $0$.
  • Et pourquoi pas une simple convergence dominée ?
  • La convergence dominée ne peut pas marcher ici, vu que $f$ n'est pas forcément intégrable (sinon c'est le cas où $f$ n'est pas intégrable qui m'intéresse).
    D'autre part si tu penses à faire ceci
    \[f(x)=f_0(x)+\int_0^xk(t)f(x-t)dt
    \] Oui mais que dis-tu de ça $$\lim_{x\to\infty}f(x-t).$$ Nous savons juste que $f$ est bornée.
  • J'utilise justement la bornitude de f...
  • Explique car je ne vois pas.
  • Simplement majorer la valeur absolue par celle de |k|sup|f| comme un gros bourrin.
    Peut-être que c'est le x dans les bornes qui te gêne. Dans ce cas il suffit de faire une intégrale de 0 à l'infini en sortant une indicatrice.
  • Peut-être on ne se comprend pas. Ce n'est pas appliquer le théorème de convergence dominée qui est un problème.
    Par l'expression
    \[f(x)=f_0(x)+\int_0^xk(t)f(x-t)dt\] vu que $f$ est bornée et $k$ intégrable on peut permuter la limite et la somme. Cependant ça n'aide en rien vu qu'on ne peut rien dire de la limite de $f(x-t)$ lorsque $x\to+\infty$. D'ailleurs mon but est de montrer que $f$ converge.
  • Ah ! Je n'ai pas fait attention et pensais que c'était $f_{0}$ dans l'intégrale.

    Pour les produits de convolution on montre la nullité en l'infini grâce à la densité des fonctions plateau (ou simplement continues à support compact ?). Je ne sais plus si ça s'applique pour le cas $L^{1}*L^{\infty}$.
  • $\newcommand{\mes}{\operatorname{mes}}$Si $f$ est continue et à support compact, alors $f$ est uniformément continue. D'où
    \[\forall\epsilon>0,\ \exists A>0,\ \forall x,y\in\mathbb{R},\quad x\geq A,\ y\geq A\implies |f(x)-f(y)|\leq\epsilon.
    \] Est-ce correct ?
    J'ai envie d'utiliser un truc de ce genre pour montrer que
    \[\lim_{\substack{x,y\to+\infty\\y\geq x}}\int_0^x|f(y-r)-f(x-r)|dr=0.
    \] En fait si cet inégalité est juste (d'ailleurs je prendrais $f=k$ et comme $k$ converge on aura cet inégalité par le critère de Cauchy.) on a pour $y>x\geq A$
    \begin{align*}
    \int_0^x|f(y-r)-f(x-r)|dr&=\int_0^{x-A}|f(y-r)-f(x-r)|dr+\int_{x-A}^x|f(y-r)-f(x-r)|dr\\
    &=\int_{\left\{y-\{f\neq0\}\right\}\cup\left\{x-\{f\neq0\}\right\}}|f(y-r)-f(x-r)|1_{r\leq x-A}dr+\int_{x-A}^x|f(y-r)-f(x-r)|dr\\
    &\leq2\mes\left(\{f\neq0\}\right)\epsilon+\int_{x-A}^x|f(y-r)-f(x-r)|dr.

    \end{align*} Donc pour tout $\epsilon>0$
    \[\lim_{\substack{x,y\to+\infty\\y\geq x}}\int_0^x|f(y-r)-f(x-r)|dr\leq2\mes\left(\{f\neq0\}\right)\epsilon.\]
  • Pour f uniformément continue c'est plutôt $|x-y| \leq A$ la condition.
    Mais si f est à support compact l'intégrale tend évidemment vers 0.
    Le problème est ici que la densité des fonctions continues à support compact ne tient pas pour $L^{\infty}$. Je vais retrouver un cours d'analyse fonctionnelle.
  • Je suis d'accord. Cependant dans un bouquin je viens de voir que la formule de Cauchy pour des fonctions et elle correspond bien à la formule que j'ai mentionnée.

    Dans Haïm Brezis si $f$ est uniformément continu, on a ce résultat en prenant une limite vers $0$.

    [ Haïm Brezis (1944- ) mérite le respect de son prénom. AD]
  • Ok, je ne connaissais pas le critère de Cauchy continu. Je ne suis pas convaincu que ta piste puisse te mener quelque part hélas.
    Il y a toujours ce côté frustrant du problème qui est qu'on sait dominer en écrivant f(x-t)k(t), et qu'on sait la limite en écrivant f(t)k(x-t), qui donnent des intégrales identiques. Est-ce possible de bricoler quelque chose à partir de ce constat ? Ce qui donne envie d'y croire c'est que les hypothèses de l'énoncé sont vraiment faites pour la convergence dominée a priori.
  • Le calcul de la valeur de la limite est un peu plus complexe que ça en a l'air. La fonction $f $ a deux limites possibles, dans le premier cas on utilise la convergence dominé car on suppose $f $ intégrable et dans le second cas on suppose que $f $ n'est pas intégrable et il devient compliqué d'appliquer la convergence dominée.
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