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Intégration et limite

Bonjour, s'il vous plaît je me pose une question.

Si $f $ est une fonction numérique positive, bornée et définie sur $\mathbb{R}_+$ tel que $$\int_0^\infty f(x)dx=+\infty.$$ Est-ce que $\lim_{x\to+\infty}f(x) $ existe ?
Merci d'avance pour votre aide.

Réponses

  • Regarde $f(x)=\cos(x)+1$.
  • non , f(x)=|sinx| est un bon contre exemple.
  • Oui oui ça marche.
    Merci bien.
  • Question subsidiaire :

    Si $f$ est EDIT : continue et positive et que $\displaystyle \int_0^{\infty}f(t)dt < \infty$, $f$ admet-elle forcément une limite en $+\infty$ ?
  • Homo Topi: la réponse est "faux", je me rappelle qu'on avait donné un contre exemple moi et "Dom" qu'on avait illustré graphiquement, depuis quelques mois,
  • Je voulais que le fustré y réfléchisse un peu. Je connais la réponse et je me rappelle à peu près du contre-exemple classique, je devrais pouvoir le refaire au brouillon
  • Désolé de répondre un peu tardivement, moi même je connais bien que ce sens est faux. En général on prend une sorte de fonction continue par morceau affine sur certaines intervalles.
    Merci bien.
  • Oui, voilà, c'est une fonction en "dents de scie".
  • Remarque : si on avait remplacé la borne inf 0 par 1 le résultat aurait été évident.
  • Logarithme népérien...
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