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Continuité d'une fonction dans une composée

Bonjour

Soit f,g,h des fonctions réelles vérifiant la composee
h=gof et h et f sont continues.

A-t-on que g est continue sur Im(f) l'image de f ?
Merci beaucoup

Réponses

  • Bonsoir,

    Autorise-t-on, pour parler de continuité, à ce que $Im(f)$ soit un singleton (ou une réunion de singleton) ?
    Il me semble que cela se discute.

    Ensuite, que sait-on du domaine de $f$, est-ce un intervalle ? autre chose ?
    Mais peut-être que quand on dit "des fonctions réelles", cela signifie que le domaine est $\R$ et que l'image est incluse dans $\R$ ?

    Pardonnez mes questions qui semblent chercher la petite bête.

    Cordialement

    Dom
  • Soit $f$ définie sur $]-\infty,0[ \cup \{1\}$ par $f(x)=1/x$ si $x<0$ et $f(1)=0$. Soit $g$ définie sur $]- \infty, 0]$ par $g(0)=0$ et $g(x)=1/x$ si $x<0$.
    Alors $h$ définie sur $]-\infty,0[ \cup \{1\}$ par $h(x)=x$ et $h(1)=0$ est bien continue et vérifie $h=g \circ f$.
    De même, $f$ est continue.
    Mais $g$ ne l'est pas.
  • Peut-être qu'il est plus simple de poser la question dans l'autre sens : si $f$ et $g$ sont telles que la composée $g \circ f$ est définie en $a$, est-il possible que $g \circ f$ soit continue en $a$ si $g$ n'est pas continue en $a$ ?

    Je n'y ai pas réfléchi.


    EDIT : grillé entre temps parce que je chassais un moustique :-D
  • Il me semble que si f est strictement monotone elle est bijective, donc inversible... Ceci n'est à priori qu'un cas particulier.... En espérant ne pas avoir écrit trop de kh......
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