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Une application du théorème de Baire

Bonjour.
Une idée pour construire une suite d'ouverts/fermés adéquate ?126652

Réponses

  • Cet exercice n'a rien à voir avec le lemme de Baire, c'est un phénomène algébrique. L'énoncé est un tantinet fallacieux.

    Pour des raisons de cardinalité, je commence par remarquer qu'il existe un entier $N$ et une infinité (non dénombrable) de réels $y$ notée $E$ telle que
    $$
    \forall x \in \mathbb{R},\qquad P(x,y)=\sum_{k=0}^ {N} a_k(y) x^k,

    $$ où les $a_k(y)$ dénotent les coefficients de $x\mapsto P(x,y)$ et $y\in E$. Ensuite on choisit $x_0,x_1,\ldots,x_{N+1}$ des réels distincts deux à deux et on note $V$ la matrice de Vandermonde correspondante qui est inversible. Pour $y$ dans $E$ on note $A(y)$ le vecteur des colonnes des coefficients de $x\mapsto P(x,y)$. On a alors l'équation matricielle $V A (y)= \big( P(x_1,y),\ldots, P(x_{N+1},y)\big)$ et en inversant on a aussi
    $$
    A(y)=V^{-1} \big( P(x_1,y),\ldots, P(x_{N+1},y)\big).

    $$ Les éléments de $A$ correspondent donc à des fonctions polynomiales car par hypothèse pour tout $x$ on a aussi $y\mapsto P(x,y)$ qui est un polynôme. Ensuite on remonte, on a montré que $P(x,y)= \sum_{k=0}^N a_k(y) x^k$ sur $I\times E$ qui est une identité polynomiale. Si $y$ n'est pas dans $E$ et que $x$ est fixé, l'identité s'étend car $E$ est infini.

    Un exercice plus adapté à Baire serait le suivant.
    Soit $f$ une fonction de classe $\mathcal{C}^\infty$ sur $I$ telle que pour tout $x$ il existe $N_x$ avec $f^{N_x}(x)=0$ alors $f$ est un polynôme.
  • Dans l'esprit de l'énoncé, une application classique (et même historique il me semble), du théorème de Baire, est qu'une fonction séparément continue (c'est-à-dire que $x \mapsto f(x,b)$ et $y \mapsto f(a,y)$ sont continues pour tout $a,b \in \mathbb R$) est continue sur une partie dense.
  • psychcorse, l'entier N dépend à priori de y, non ?
  • Non, je note E_1 l'ensemble des y tel que le degré est 1, E_2 l'ensemble des y tels que le degré est 2, etc.. Par indénombrabilité de [0,1] et puisque [0,1]= U E_k donc il existe N tel que E_N est infini. On travaille avec celui là.
  • Si tu as un corrigé qui utilise Baire un jour je suis preneur. Merci !
  • Bonjour RLC,

    Avec Baire on pourrait essayer de faire un truc comme ça.
    On introduit :
    $$
    F_n=\{ x\in[0,1] \mid y\mapsto P(x,y) \in \mathbb{R}_n[x]\}.

    $$ $F_n$ va être une suite de fermés de l’espace métrique complet $[0,1]$ muni de la topologie usuelle, de plus la réunion des $ F_n$ va être $[0,1]$ donc par Baire, on peut trouver $N$ tel que $F_N$ est d’intérieur non vide donc contient disons $]a,b[$. De même, en intervertissant les rôles de $x$ et $y$, le même raisonnement garantit l’existence de $M$ entier et $]c,d[$ tels pour tout dans $]c,d[$ on a $x\mapsto P(x,y)$ qui est de degré $M$. On fixe alors différentes valeurs de $y$ dans $]c,d[$ et en résolvant un système de Vandermonde on prouve que les coeffs de $y\mapsto P(x,y)$ sont des expressions polynomiales en $x$ sur $]a,b[$. Après on conclut en établissant l’égalité des polynômes sur $[0,1]^2$.

    Je suis moyennement satisfait car ça ressemble trop à la preuve n’utilisant pas Baire, il y a ptet un argument plus expéditif utilisant Baire, mais je ne le vois pas...
  • J'avais pensé à ces fermés vu qu'on ne peut pas faire grand chose d'autre mais je ne savais pas où ça mènerait d'en avoir un d'intérieur non vide, ni même comment vérifier que ce sont effectivement des fermés.
    Merci en tous cas !

    Edit : l'énoncé semble supposer qu'il faut appliquer Baire sur l'espace des fonctions continues sur le segment. Je pense que l'auteur avait une autre idée en tête.
  • Peut-être aller voir cette courte présentation du lemme de Baire, par un de ses spécialistes :

    https://www.apmep.fr/IMG/pdf/godefroy.pdf
  • On peut remarquer que l'hypothèse entraine qu'en tout point de $\R^2$ il existe un entier $n$ tel que la différentielle $n$-ième $D^nP$ est nulle en ce point. Et c'est une conséquence classique de Baire (pas totalement évidente) que ceci implique que $P$ est polynomiale.
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