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Reconstituer un espace, de ses symétries

Bonjour à tous
- La théorie inverse de Galois demande, si, étant donné un groupe $ G $, on peut reconstituer $ E = \mathbb{Q} (a_1 , \ldots , a_n) $, une extension galoisienne de $ \mathbb{Q} $, à partir de $ G $, de sorte que, $ \mathrm{Gal}_{ \mathbb{Q} } ( E ) = \mathrm{Gal}_{ \mathbb{Q} } ( \mathbb{Q} (a_1 , \ldots , a_n ) ) = G $.
- Or, on sait, d'après la théorie des variétés algébriques, que, $ \mathcal{C}^0 ( V(I) , \mathbb{C} ) = \mathbb{Q} [X_1 , \dots , X_n ] / I = \mathbb{Q} (a_1 , \dots , a_n ) = E $.

En combinant ces deux points çi-dessus, on obtient : $ \mathrm{Gal}_{ \mathbb{Q} } ( E ) = \mathrm{Gal}_{ \mathbb{Q} } ( \mathcal{C}^0 ( V(I) , \mathbb{C} ) ) = G $.
À partir de ces données, si $ \mathrm{Gal}_{ \mathbb{Q} } ( E ) = \mathrm{Gal}_{ \mathbb{Q} } ( \mathcal{C}^0 ( V(I) , \mathbb{C} ) ) = G $, est-ce qu'on peut dire, que, $ G $ s'identifie, à $ V(I) $ ? ( i.e : $ G = V(I) $ ), et que, dans ce cas là, $ E = \mathcal{C}^0 ( G , \mathbb{C} ) $ ? Doit-on a priori, considérer $ G = V(I) $ un groupe algébrique pour que ces formules ci-dessus marchent ?

Je précise que $ \mathcal{C}^0 ( G , \mathbb{C} ) $ est l'espace des fonctions continues sur $ G $ à valeurs dans $ \mathbb{C} $.

Pensez-vous que les deux foncteurs, $ \mathrm{Gal}_{ \mathbb{Q} } ( \bullet ) $ et $ \mathcal{C}^0 ( \bullet , \mathbb{C} ) $ sont inverses l'un par rapport à l'autre ?
Merci d'avance.

Réponses

  • La question fondamentale faisant l'objet de la théorie inverse de Galois est la suivante :
    Tout groupe fini $ G $ est le groupe de Galois d'une extension galoisienne $ E $ de $ \mathbb{Q} $.
    Dans le poste précédent, je me demandais, si on pouvait conclure que, $ E = \mathcal{C}^0 ( G , \mathbb{C} ) $, pour $ G $ un groupe quelconque. Qu'en est - il maintenant d'un groupe fini ? Voici ce que je pense,
    Si nous jetons un coup d’œil ici, https://fr.wikipedia.org/wiki/Théorie_des_représentations_d'un_groupe_fini , nous pouvons constater que, $ \mathcal{C}^0 ( G , \mathbb{C} ) = \mathbb{C} [G] $, la $ \mathbb{C} $ - algèbre du groupe fini $ G $. D'où, $ E = \mathcal{C}^0 ( G , \mathbb{C} ) = \mathbb{C} [G] $.
    Est ce que donc, vous pensez que, $ \mathrm{Gal}_{ \mathbb{C} } ( \mathbb{C} [G] ) = G $ ? et que, $ \mathbb{C} [ \mathrm{Gal}_{ \mathbb{Q} } ( E ) ] = E $ ?
    Ainsi, les deux foncteurs, $ E \to \mathrm{Gal}_{ \mathbb{Q} } ( E ) $, et $ G \to \mathbb{C} [G] $ sont inverses l'un par rapport à l'autre.

    Merci d'avance.
  • J'émets d'autres conjectures si c'est possible,
    - Conjecture $ 2 $,
    Si $ G $ est un groupe compact de dimension zéro ( Par exemple, groupes profinis ), alors, $ \mathrm{Gal}_{ \mathrm{Q} } ( \overline{ \mathbb{C} [G] }^{|| \bullet ||_{r}} ) = G $. ( On a aussi éventuellement $ E = \overline{ \mathbb{C} [\mathrm{Gal}_{ \mathrm{Q} } ( E ) ] }^{|| \bullet ||_{r}} $ ).
    $ \overline{ \mathbb{C} [G] }^{|| \bullet ||_{r}} $ est la complétion de l'espace $ \mathbb{C} [G] $ dans $ \mathcal{B} ( L^2 (G) ) $, pour la norme $ || \bullet ||_r $, où, $ \mathcal{B} ( L^2 (G) ) $ est l'espace des opérateurs bornés sur l'espace de Hilbert $ L^2 (G) $.
    - Conjecture $ 3 $,
    Si $ G $ est un groupe localement compact de dimension $ > 0 $ ( Par exemple, groupes algébriques ), alors, $ \pi_{1} ( C_r^* (G) ) = G $, où, $ C_r^* (G) $ est la $ C^* $ - algèbre réduite du groupe $ G $. ( On a aussi éventuellement $ C_r^* ( \pi_1 (A) ) = A $, pour $ A $ une $ C^* $ - algèbre ( Voir ici, http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?43,2292380 ) ).

    Si vous voulez savoir comment j'arrive à deviner ces conjectures, je peux vous expliquer. C'est simple. :-)
  • Dans ce poste, je vais mettre quelques idées qui trottinent dans mon esprit, pour ne pas les oublier pour une éventuelle utilisation future.
    - Si $ G $ est un groupe localement compact, alors, $ \delta_1 ( C_r^* ( G ) ) = \mathrm{Rep} ( C_r^* (G) ) = G $, et $ C_r^* ( \delta_1 ( A ) ) = C_r^* ( \mathrm{Rep} (A) ) = A $ ( Voir, http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?43,2292380 ).
    - Les $ C^* $ - loops de $ \delta_1 ( C_0 (X) , \pi (x) , \pi (y) ) $ ont une légitime existence, vue que, en $ KK^G $ - théorie, la notion d'homotopie existe. ( Voir : https://en.wikipedia.org/wiki/K-homology )
    - Chercher s'il existe une notion de representation group au lieu de representation ring, et voir si $ \mathrm{Rep} (A) $ a plutôt une structure de representation group au lieu de representation ring, pour $ A $ une $ C^* $ - algèbre quelconque.
  • Ils sont jolis tous ces symboles Pablo.
  • Poirot,
    Penses tu que si $ G $ est un groupe fini, alors, $ \mathrm{Gal}_{ \mathbb{Q} } ( \mathbb{C} [G] ) = G $ ?
    Je pense avoir résolu le problème inverse de Galois. Qu'est ce t'en penses Poirot ?
  • Personnellement, tous ces symboles me donnent envie de manger un célèbre chocolat blanc des années 80.
    Anti-London System !
  • Qu'est-ce t'en penses Poirot ?
  • Je vais ajouter une autre conjecture que je ressens qu'elle est juste,
    Soit $ G $ un groupe localement compact.
    Il existe une catégorie $ \mathcal{A} $ qui ressemble à une catégorie Tannakienne neutre, mais pour les structures de $ C^* $ - algèbres, telle que, $ G \cong \widehat{K(\mathcal{A})} $, où, $ \widehat{K(\mathcal{A})} $ est le groupe de Grothendieck topologique de $ \mathcal{A} $.

    Puisque $ \mathcal{A} $ est Tannakienne neutre, alors, $ \mathcal{A} \cong \mathrm{Rep}_{ \mathbb{C} } (A) $ pour $ A $ une $ C^* $ - algèbre, et donc, puisque, $ \widehat{K( \mathrm{Rep}_{ \mathbb{C} } ( A ) ) } = \K (D^{ \bigtriangledown } ( \mathrm{Rep}_{ \mathbb{C} } (A))) $, où, $ \K $ est le foncteur de complétion topologique d'une sous catégorie dérivée d'une catégorie mixte, alors, il va falloir apprendre à
    - déterminer, la sous catégorie dérivée $ D^{ \bigtriangledown } ( \mathrm{Rep}_{ \mathbb{C} } (A)) $ pour $ A $ une $ C^* $ - algèbre quelconque.
    - vérifier que, $ \mathrm{Rep}_{ \mathbb{C} } (A) $ est une catégorie mixte pour tout $ C^* $ - algèbre $ A $.
    - vérifier que $ \widehat{K ( \mathrm{Rep} ( A )) } $ est toujours localement compact pour tout $ C^* $ - algèbre $ A $, pour la topologie définie par la base de voisinages $ ( \widehat{K ( \mathrm{Rep} ( A )}_{ \leq n } ) )_{ n \in \mathbb{Z} } $.
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