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Ivan Niven et $\sqrt{2}$

Je viens de lire sa démonstration de l’irrationalité de $\sqrt{2}.$

'Sinon, il existe un plus petit entier $n>0$ tel que $n\sqrt{2}$ est entier. Mais $n\sqrt{2}-n$ a la même propriété et est plus petit que $n.$'

Réponses

  • Jolie démonstration! Cette démonstration me fait penser à une preuve présentée par une de mes anciennes professeures en utilisant le pliage d’une feuille A4.
  • C'est très joli formulé comme ça, mais n'est-ce pas essentiellement la démonstration par descente infinie que l'on trouve ici (et due à Fermat peut-être) ?
  • Modifié (November 2021)
    Sur la page que tu cites, il est écrit : "Cette méthode apparaît dans les Éléments d'Euclide ; par exemple dans la preuve de la Proposition 31 du Livre 7"
  • Ça se généralise à $\sqrt{m}$ où $m$ n'est pas un carré parfait : si $n$ est dans $\N^*$ et vérifie que $n\sqrt{m}$ est entier, alors $n\sqrt{m}-n\lfloor \sqrt{m}\rfloor$ aussi.
  • RE

    Une autre preuve simple (est-ce la preuve standard ?) :
    sinon, $p^2 = nq^2$ ; la décomposition en facteurs premiers ne contient à gauche que des exposants pairs et contient à droite au moins un exposant impair !...

    A+
  • En réponse à une de mes élèves qui avait des penchants constructivistes :-)
    Soit $n,a,b\in\Z$ tels que $\gcd(a,b)=1$ et $n=\dfrac{a^2}{b^2}$. Alors :$$n=n\gcd(a^2,b^2)=\gcd(na^2,nb^2)=\gcd(na^2,a^2)=a^2.$$
  • @gai requin : redoutable d’efficacité!
  • Soit $f: \: \mathbb{Q}(\sqrt{2}) \longrightarrow \mathbb{Q}(\sqrt{2}), \: \: \: a+b\sqrt{2} \mapsto a-b\sqrt{2}$.
    En tant qu’automorphisme d’une extension de $\mathbb{Q}$, $f$ fixe tout rationnel (i.e. $f(q)=q, \: \forall q \in \mathbb{Q}$).
    Or, $f(\sqrt{2})=-\sqrt{2}$. Donc $\sqrt{2}$ est irrationnel !
  • Si tu veux bien définir la fonction $f$, il me semble qu'il faut vérifier une unicité d'écriture sous la forme $a+b\sqrt 2$, ce qui revient à montrer que $\sqrt 2$ est irrationnel.
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