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Recherche origine énoncé série

Bonjour.
Je retrouve dans mes papiers un problème qui fait étudier la convergence de la série de terme général $\ \dfrac {\sin \pi \sqrt n}{n ^ \alpha}$.
Auriez-vous vu passer ceci, dans les problèmes de concours ou ailleurs ?
Merci d'avance et bonne journée.
Fr. Ch.

Réponses

  • Salut Chaurien,

    Je n'ai pas la réponse à ta question. Est-ce que tu pourrais poster le sujet ? Je suis curieux de voir ce qu'ils font pour $\alpha \leq 1 $, j'imagine que c'est une sommation d'Abel puis une estimation des sommes partielles de $\sum \sin(\pi \sqrt n )$.
  • @Chaurien

    C'est un énoncé qu'on retrouve dans le premier tome d'analyse de Francinou et Gianella (3.37), intitulé Séries de Hardy. Je ne sais pas si on le retrouve ailleurs. Je me connecte rarement mais en profite pour vous remercier pour vos interventions mathématiques que je lis souvent avec plaisir.

    @Renart

    On est effectivement tenté par une sommation d'Abel comme dans le cas classique de l'étude de $\sum \frac{\sin n}{n}$, mais ce n'est pas vraiment une idée fructueuse ici : il n'est pas du tout évident de borner $\sum \sin \pi \sqrt n$ de façon suffisament fine. Une autre idée consiste à montrer que si $f$ est une fonction de classe $\mathcal{C}^1([q,+\infty[)$ pour un certain réel $q$ et si $\int_q^{+\infty} |f'(t)| dt$ converge, $\sum f(n)$ et $\int_q^{+\infty} f(x) dx$ ont même nature. Ça ne coûte pas très cher à montrer et on en déduit que la série converge si $\alpha>\frac{1}{2}$.
    Il reste à voir que le la série diverge si $\alpha \leq \frac{1}{2}$.

    L'exercice de Francinou et Gianella se termine par "Le lecteur courageux pourra étudier plus généralement la nature de $\sum \frac{\sin \pi n^{\beta}}{n^{\alpha}}$ avec $\alpha,\beta>0$." Je laisse la suggestion ici, si certains sont intéressés !
  • Merci pour vos réponses.
    Fr. Ch.
  • Melchior : Ce n'est pas si difficile que ça de borner $S_n = \sum_{k=0}^n \sin(\pi \sqrt k)$, disons que c'est un peu pénible à écrire mais ça reste élémentaire. Voilà comment on peut procéder :

    1) Avec un développement limité on estime $\sqrt {n^2 +k} -(n+\frac{k}{2n+1}) $ pour $k \in [0; 2n]$, on trouve
    \[
    \left|\sqrt {n^2 +k} -(n+\frac{k}{2n+1})\right| = \mathcal O(n^{-1}).
    \]
    En sommant pour $k \in \{0;\ldots; 2n\}$ et en utilisant l'inégalité des accroissements finis on trouve
    \[
    \left|\sum_{n^2\leq k < (n+1)^2} \sin(\pi \sqrt k) - \sum_{k=0}^{2n} \sin\left(\frac{k}{2n+1}\right)\right| = \mathcal O(1)
    \]
    lorsque $n$ tend vers l'infini.

    2) On utilise un résultat classique sur la convergence des sommes de Riemann pour dire que
    \[
    \left|\sum_{k=0}^{2n} \sin\left(\frac{k}{2n+1}\right) - (2n+1) \int_0^1 \sin(\pi t) \mathrm dt \right| = \mathcal O(1)
    \]
    lorsque $n$ tend vers l'infini. On en déduit ainsi
    \[
    \sum_{k=0}^{n^2-1} \sin(\pi \sqrt k) = \sum_{j=0}^{n-1} \sum_{j^2\leq k < (j+1)^2} \sin(\pi \sqrt k) = \sum_{j=0}^{n-1} \left((2j+1)\int_0^1 \sin(\pi t) \mathrm dt +\mathcal O(1) \right) = \frac{2}{\pi} n(-1)^{n+1} + \mathcal O(n) = \mathcal O(n).
    \]

    3) Soit $m$ un entier s'écrivant $n^2+k$ avec $k\leq 2n$, on a $S_m = S_{n^2}+ \sum_{j=1}^k \sin(\pi \sqrt{n^2+j})$, cette dernière somme est majorée en valeur absolue par $k$, lui même majoré par $2n$. Ainsi on retrouve encore $S_m = \mathcal O(n) = \mathcal O(\sqrt m)$, ce qui est suffisant, avec une sommation d'Abel, pour démontrer que la série qui nous intéresse converge si $\alpha >1/2$.

    En étant plus précis dans les calculs je pense qu'on doit même pouvoir donner le premier terme du développement asymptotique de $(S_n)_n$, mais je n'en ai pas le courage :-D

    Quelle est la méthode utilisée dans ton sujet, Chaurien ?
  • @Renart

    Merci d'avoir pris le temps d'expliciter la majoration de $\sum \sin (\pi \sqrt{n})$, c'est une jolie méthode !
  • Pour étudier la convergence de la série de terme général $\frac {\sin \pi \sqrt n}{n ^ \alpha}$, l'énoncé que j'ai retrouvé n'évoque pas la « bornitude » de $S_n = \sum_{k=0}^n \sin(\pi \sqrt k)$. Il envisage successivement quatre cas :
    - cas où $\alpha >1$, immédiat ;
    - cas où $\frac 12 <\alpha \le 1$, par comparaison avec l'intégrale ;
    - cas où $ \alpha = \frac 12 $, avec un développement asymptotique de $ \cos \pi \sqrt {n+1} - \cos \pi \sqrt n~$ à la précision $O(\frac 1{n \sqrt n})$, plutôt laborieux ;
    - cas où $ 0< \alpha < \frac 12 $, par l'absurde, en supposant qu'elle converge, en relation avec le cas précédent.
    C'est plus long, mais ça fait un bon problème qui fait fonctionner plusieurs notions vues en Math Spé.
    Bonne journée.
    Fr. Ch.
  • Je traite la généralisation, $u_n=\dfrac{\sin(\pi n^a)}{n^b}$ avec $a>0$, $b>0$, dans le cas le plus facile (exceptés les cas $b>1$ et $a\in\N$) :
    si $a+b\leq1$ alors la série diverge.

    Si $2k+\dfrac16\leq n^a\leq 2k+\dfrac56$ on a $u_n\geq\dfrac{1/2}{(2k+5/6)^{\frac ba}}$.

    En posant $n_1=\lfloor(2k+1/6)^{\frac1a}\rfloor$ et $n_2=\lfloor(2k+5/6)^{\frac1a}\rfloor$ et en notant $S_n$ la somme partielle de rang $n$ de la série on a :
    $S_{n_2}-S_{n_1}\geq \dfrac{n_2-n_1}{2(2k+5/6)^{\frac ba}}$.

    Or $n_2-n_1=(2k+5/6)^{\frac1a}-(2k+1/6)^{\frac1a}+O(1)\sim \dfrac2{3a}(2k)^{\frac1a-1}$ puisque $a+b\leq1$ entraine $\dfrac1a>1$.

    Par suite $S_{n_2}-S_{n_1}\geq v_k$ avec $v_k\sim c k^{\frac{1-a-b}a}$ qui ne tend pas vers $0$ quand $k$ tend vers $+\infty$ : la suite $S_n$ n'est donc pas convergente.
  • Melchior :
    Merci à toi pour l'énoncé sur la comparaison série-intégrale lorsque $\int |f'(t)| \mathrm dt$ converge, je crois que je ne le connaissais pas !

    Chaurien :
    Merci pour les précisions, c'est un joli sujet je trouve et, traité comme ça, il permet de tester les étudiants sur pas mal de thèmes différents.
  • On peut même prolonger à une fonction de classe $C^p$ : voir solution jointe.
  • oui ça peut nous intéresser.
  • Merci à rakam pour ce prolongement qui permet de traiter la généralisation $u_n=\dfrac{\sin(A n^a)}{n^b}$ avec $A,a,b$ strictement positifs dans le cas où $a<1$.

    En effet, $f(t)=\dfrac{\sin(A t^a)}{t^b}=\Im (t^{-b}e^{iAt^a})$ vérifie $f^{(p)}(t)=\Im \displaystyle\sum_{k=0}^p \alpha_k t^{ka-b-p}e^{iAt^a}$ (démonstration par récurrence).
    Il en résulte que pour $p(1-a)>1-b$ on a $ka-b-p<-1$ pour $0\leq k\leq p$ et par suite $\int_1^{+\infty}|f^{(p)}|$ converge. Comme d'autre part tous les $f^{(p)}$ ont clairement pour limite 0 en $+\infty$ le résultat de rakam s'applique et prouve que $(\sum u_n)$ et $\int_1^{+\infty} f(t)dt$ ont la même nature.

    Par $u=A t^a$ on obtient $\int_1^{+\infty} f(t)dt=c\int_A^{+\infty} (\sin u )u^{(1-a-b)/a}du$ qui converge si $a+b>1$ (par une IPP) et qui diverge si $a+b\leq 1$ (l'intégrale de $2n\pi$ à $(2n+1)\pi$ est minorée par $2(2n\pi)^{(1-a-b)/a}$ qui ne tend pas vers 0 en $+\infty$).

    Conclusion : quand $a<1$ la série $(\sum u_n)$ converge si et seulement si $a+b>1$.

    Le cas $a=1$ se traite classiquement avec une transformation d'Abel puisque la suite $\displaystyle\sum_{k=1}^n \sin(A k^a)$ est bornée : on trouve que la série $(\sum u_n)$ converge pour tout $b>0$.

    Le cas $b>1$ étant immédiat il ne reste à traiter que le cas $a>1$ et $b\leq1$.

    C'est certainement plus compliqué : par exemple pour $a=2$ et $b\leq1$ la série converge quand $A=\pi$ (série nulle) et diverge quand $A=\dfrac{\pi}2$ puisque $\displaystyle\sum_{k=1}^{2n}\dfrac{\sin( k^2\pi/2)}{k^b}=\displaystyle\sum_{k=1}^n\dfrac1{(2k-1)^b}$ diverge.
  • Salut Jandri,

    Je doute que quiconque ait réponse à cette question dans le cas $a>1$ et $b\leq 1$. Le fait que $a>1$ semble empêcher toute comparaison somme/intégrale non triviale et les démonstrations données jusqu'à présent (y compris la mienne) reposaient toutes de près ou de loin là dessus.

    On peut sans doute démontrer l'équiréparition de $(An^a)_n$ modulo $2\pi$ pour presque tout $A$ ou presque tout $a$ mais cela ne donne que $\sum_{k=0}^n \sin(A k^a) = o_\infty(n)$ ce qui est insuffisant pour démonter la convergence de la série. Pire, pour la plupart des valeurs précises de $A$ et $a$ on ne saura, à mon avis, rien dire du tout. Par exemple, on ne sait même pas si $(3^n/2^n)_n$ est équirépartie modulo $1$. Et dans le cas générique je ne suis pas sûr qu'on sache faire mieux que l'équirépartition modulo $2\pi$ pour des suites de la forme $(An^a)_n$.

    Mais j'aimerais beaucoup avoir tort !
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