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Problème sur les matrices inversibles

Bonjour,
c’est le mois d’août, le ventre mou de l’année. Je propose ce problème d’algèbre pour s’occuper à ses heures perdues.
Bien cordialement.

$\textbf{Problème}$
Deux matrices $M,N \in \mathscr{M}_k(K)$, à coefficients dans un corps $K$, sont $\textbf{similaires}$ si il existe une matrice $C \in GL_k(K)$ telle que $N=C^{-1}MC$.
Soient $A,B \in GL_k(\mathbb{Q})$, deux matrices similaires inversibles définies sur le corps des rationnels.
Supposons que pour un certain entier $\ell$, les matrices $A, B$ vérifient
\begin{equation}
A^{\ell+1}B=BA^{\ell}

\end{equation} Montrer que $A$ et $B$ sont les matrices identité.

Réponses

  • Point de départ de ce problème est G. Baumslag, A non-cyclic one-relator group all of whose finite quotients are cyclic. J. Austral. Math. Soc. 10, 497–498 (1969)

    $a$ un entier
    Soit $G$ un groupe fini et [trois] éléments $x,y,z$ de $G$ qui vérifient $y=z^{-1}xz ,\ x^{a+1}y = yx^{a}$.
    Montrer $x=y=e$ le neutre.
  • Il me semble que si $A$ est bien l'identité, la condition sur $B$ n'est plus aussi forte que tu sembles l'imposer.
  • Bonjour,

    Le problème avait déjà été posé par Etanche il y a quelques mois et résolu par Pea: voici le lien.
  • Désolé, je ne savais pas que ce problème avait déjà été proposé.
    Il se généralise bien à un corps $K$ quelconque (voir A. Malcev, « on isomorphic matrix representations of infinite groups ».)
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