QCM au hasard — Les-mathematiques.net The most powerful custom community solution in the world

QCM au hasard

Bonjour, désolée ça doit être très simple mais je n'y arrive pas.
la question est : Un QCM comporte 10 questions pour chacune desquelles il y a 4 réponses possibles, dont une seule est correcte. Quelle est la probabilité, en répondant au hasard, de répondre au moins 6 fois correctement.

J'aurais répondu :

P(X>=6) = P(X=6) + P(X=7) + P(X=8) + P( X=9) + P(X=10)

avec P(X=k) = (0,25)^k * (0,75)^(10-k) * ( Nombre de combinaisons de k parmi 10).

Mais la solution est : On utilise comme univers l'ensemble des n-uplets de nombres compris entre 1 et 4(ensemble de toutes les listes de réponses possibles), que l'on traduit de la probabilité uniforme. Il y a 4^10 réponses possibles (ok jusque là)
Le nombre de réponses correspondant à ce que l'on cherche est (Nombre de combinaisons de 6 parmi 10) * 4^4; En effet une liste acceptable de réponses s'obtient en choisissant 6 questions auxquelles on donne une bonne réponse et en choisissant n'importe quelle réponse pour les 4 questions restantes.

Donc la probabilité est (1/4)^10 * (Nombre de combinaisons de 6 parmi 10) * (4^4).

Qu'est ce qui ne va pas ?
Merci !

Réponses

  • Dans ton P(X=6), tu n’as donné par exemple que le cas où l’on répondrait juste aux 6 premières et faux aux 4 suivantes.
    Justement, il manque toutes les autres combinaisons et donc un coefficient binomial $C_{10}^6$.

    Édit : Ha pardon, tu l’as écrit avec « * ».

    Édit 2 : ce qui ne va pas c’est que dans la solution je ne lis pas qu’il est question du « au moins 6 » mais plutôt exactement 6.
    Enfin… j’essaye de préciser car c’est dit tout de même avec (n’importe quelles réponses pour les autres…).


    Bon je dis n’importe quoi, as-tu évalué les deux méthodes (ta probabilité et celle du corrigé) ?
  • En fait, le codage du corrigé est le suivant :
    Il dénombre les réponses de la forme (VVVVVV????) (6 vraies et 4 quelconques)
    Mais je me demande s'il ne commet par l'erreur de compter plusieurs fois les mêmes en multipliant par $C_{10}^6$.

    Par exemple :
    (VVVVVVF$_?$F$_?$V$_?$F$_?$) et (V$_?$VVVVVF$_?$F$_?$VF$_?$) sont les mêmes grilles (ordonnées cette fois) et pourtant on a permuté deux "V" (en couleur), l'un "quelconque" et l'autre "déjà mis".
  • Si on utilise la méthode du corrigé, avec des valeurs un peu différentes, juste pour voir :
    Proba d'avoir au moins 5 bonnes réponses : ce serait donc $\dfrac{C(10,5)*4^5}{4^{10}}$
    Pourquoi pas.

    Et la proba d'avoir au moins 1 bonne réponse : $\dfrac{C(10,1)*4^9}{4^{10}}$
    Ohh ! une proba plus grande que 1

    Comme dit Dom, il y a plein de combinaisons qui sont comptées plusieurs fois.
    Le corrigé est faux, et ta réponse est bonne.
  • Mille mercis !
    Ca me rassure !....:-)
  • Salut,
    quelques remarques :
    - Cet exercice est archi-classique au lycée dans le chapitre sur le schéma de Bernoulli et la loi binomiale. Le plus parlant est de traiter $P(X=k)$ et de dénombrer des symboles dans une liste comme le fait Dom.
    - L'autre corrigé est faux : on y dénombre les numéros de bonnes réponses sans tenir compte de la question à laquelle ils répondent.
  • Bonjour,

    Le corrigé apparaît tout de suite faux car des cas sont désignés 2 fois. il choisit 6 réponses justes parmi 10, et 4 n'importe quelle réponse pour les 4 restantes. Mais VVVVVVVFFF peut être choisi comme (VVVVVV)VFFF ou V(VVVVVV)FFF. donc 1 seul cas compté 2 fois.

    Si on choisit les réponses justes, les questions restantes n'ont pas la liberté d'être juste. Erreur de débutant.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Success message!