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Solutions de $yz+zx+xy=0$

J'aurais besoin des solutions non nulles de $yz+zx+xy=0$ dans $\mathbb{Z}^3$.
Y en a-t-il d'autres que les évidentes $(-t,t+1,t(t+1))$, avec $t\in \mathbb{Z}$ et leur cinq autres permutations ?

Réponses

  • Dans le registre de l'évidence, si $u$ est quelconque, $(-tu,(t+1)u,t(t+1)u)$ marche aussi.
  • Yes yes.
  • Sauf erreur, le triplet $(-6,10,15)$ ne rentre pas dans ta famille, même élargie.
  • Pour $t$, $u$, $v$ quelconques, il y a les triplets $x=u(t+u)v$, $y=t(t+u)v$, $z=-tuv$ et consorts.

    Ceux que tu avais proposés correspondent à $u=1$.
  • On obtient toutes les solutions avec les formules $x=t(X+Y)X$, $y=t(X+Y)Y$, $z=-tXY$ et les permutées.

    Edit : grillé par Math Coss
  • Bonjour.

    Excusez-moi d'arriver sur cette question de manière impromptue mais vous avez eu connaissance, pratiquement simultanément, d'un paramétrage et je ne vois pas par quelle méthode vous l'avez trouvé.

    Pourriez-vous, s'il vous plaît, me décrire comment vous vous y êtes pris (juste la méthode, si c'est possible) ?

    Mon objectif est d'obtenir un paramétrage pour une équation qui généralise celle posée initialement.

    D'avance merci et à bientôt.

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  • J'ai écrit $x=dX$ et $y=dY$ avec $pgcd(X,Y)=1$. On en déduit que $X+Y$ divise $d$.
  • Merci beaucoup Math Coss et Jandri. J'etais peniblement en train d'arriver aux memes conclusions quand vos reponses foudroyantes sont apparues.
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