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Logarithmes complexes

Bonjour
Dans les logarithmes complexes, pour quelle(s) raison(s) ne peut-on appliquer la formule ln (ab) = ln(a) + ln(b) en général ?
Merci pour vos réponses.

Réponses

  • Parce que le logarithme complexe est défini via un argument qui a pour image un intervalle de longueur $2\pi.$
    Par exemple le logarithme complexe "traditionnel", dit logarithme principal est défini via la formule $$\ln(z) = \ln|z|+i\arg(z)$$ où l'argument est à valeur dans $]-\pi,\pi].$ L'égalité $$\ln(zw)=\ln(z)+\ln(w)$$ reviendrait en fait à avoir l'égalité $$\arg(zw)=\arg(z)+\arg(w)$$ ce qui est évidemment faux en général. En effet le terme de gauche appartient à $]-\pi,\pi]$ alors que celui de droite appartient à $]-2\pi,2\pi]$.
  • Bonjour,

    $\ln e^{0} = 0 = \ln e^{i 2 \pi} = i 2 \pi.$
  • OK, merci pour vos réponses.

    Il y a donc un problème de bijection, mais n'existe-t-il pas un intervalle d'arguments pour lequel la formule du produit du log reste valable ?
  • Bonjour cora59,

    Reprenons le "logarithme traditionnel" introduit ci-dessus. Soit deux complexes non nuls d'arguments dans $]-\pi,\pi]$. Si la somme des arguments est aussi dans $]-\pi,\pi]$, alors on n'a pas fait de tour et la formule reste vraie. Sinon il faut compenser le tour par un facteur $\pm 2i\pi$.
  • Ou peut-être aussi quand les complexes représentent des points de la même demi-droite d’origine l’Origine ?
  • Si on prend $z=w=-i$, alors $$-\pi=\arg(z)+\arg(w)\neq \arg(zw)=\pi$$ (où $\arg$ est à valeurs dans $]-\pi,\pi]$).
  • Oui… hum… je me suis emballé.
  • Vu. En ce cas, le logarithme complexe est-il un morphisme ?

    De plus le log complexe principal est défini sur C\R- , et pourtant par exemple ln(-1) = ln(1) + iPi = iPi. Où est ma faille ?
  • La faille commence dès l’instant que tu dis « c’est défini sauf pour les réels négatifs » et que tu évalues en -1.

    Mal inspiré, je sèche mais on trouve parfois des exemples « convaincants » avec les puissances.
  • Attention le $\ln$ complexe est défini sur $\C_0.$
    Cependant, il n'est continu (et holomorphe) que sur $\C \backslash \R^-.$
  • J'aimerais m'incruster dans ce fil pour poser la question un petit peu différemment : existe-t-il des morphismes continus de (un sous-groupe de) $(\C^*,\times)$ vers (un sous-groupe de) $(\C,+)$ ? Ce qui a déjà été dit ici donne des petits morceaux de réponses mais j'ai un peu de mal à recoller tous les morceaux.
  • Bonjour, :-)
    Je suis nouveau sur ce site et c'est mon premier message.

    Je m'intéresse actuellement aux $\log_i(z)$.

    J'ai testé plusieurs logarithmes avec des puissances de $i$, j'ai vu que, pour tout complexe de forme $a + ib$, il serait possible de calculer son $\log_i$ avec cette formule :
    $$\log_i(a+bi) = - \dfrac{i(\ln(a^2 + b^2) + 2\arg(z)i)}{\pi}.

    $$ J'ai essayé avec plusieurs $i^p$ :
    • $i^0 \rightarrow \ 0$ (avec $b = 1$)
    • $i^1 \rightarrow \ 1$ (avec $b = 1$) ;
    • $i^2 \rightarrow \ 2$ (avec $b = 1$) ;
    • $i^3 \rightarrow \, -1$ (avec $b = -1$) ;
    • $i^4 \rightarrow \ 0$ (avec $b = 1$).

    J'ai remarqué aussi que quel que soit $p$, $i^{p} = i^{p+4} = i^{p+8} = i^{p+4n}$, on obtient toujours le même résultat (ce qui est normal). Pour que cela fonctionne, il faut prendre $a$ et $b \in \mathbb{R}$ d'après ce que j'ai compris.

    Ensuite, j'ai essayé avec plusieurs $\log_i(z)$ moins faciles.

    Exemple avec $z = 6 + 9i$.
    $\log_i(z) = - \dfrac{i\big(\ln(6^2 + 9^2) + 2\arctan(\frac{9}{6})i\big)}{\pi} = - \dfrac{i\big(\ln(117) + 2\arctan(\frac{3}{2})i\big)}{\pi}$.
    Après vérification, c'est bien égal au $\log_i(6+9i)$.

    J'ai testé d'autres valeurs avec ces formules, tout me semble correct. J'ai aussi appliqué la formule à des imaginaires purs et à des réels (évidemment la formule peut être simplifiée selon les cas). J'ai vérifié à la calculatrice pour les $\log_i(z)$ pas évidents, les formules ramènent bien au $\log_i(z)$.

    Donc l'affirmation $\forall z \ de \ forme \ a+ib$, avec $a, b \in \mathbb{R}$, $\log_i(z) = - \dfrac{i\big(\ln(a^2 + b^2) + 2\arg(z)i\big)}{\pi}$ me semble vraie… Mais je n'en ai aucune preuve.

    Qu'en pensez-vous ?
    Merci par avance et désolé si je n'ai pas été très synthétique. :-)
  • La première chose à comprendre, c'est qu'un nombre complexe non nul $z$ n'a pas un logarithme unique mais une infinité : tout complexe $u$ tel que $\exp u=z$ est appelé un logarithme de $z$. Si $u$ en est un, alors $u+2i\pi k$ en est un pour chaque entier $k$.

    Pour cette raison, l'expression $i^w$ n'a pas un sens bien défini pour $w$ complexe. On voudrait le définir comme $\exp(w\log i)$ mais comme $\log i$ peut prendre plusieurs valeurs...

    Dans ces conditions, l'expression $\log_iz$ est doublement mal définie puisqu'on doit choisir une détermination du logarithme de $z$ et la diviser par une détermination du logarithme de $i$ et chacune est définie à un multiple de $2i\pi$ près.

    Pour le logarithme de $i$, on peut convenir de choisir $i\frac\pi2$, vu que $\exp\bigl(i\frac\pi2\bigr)=i$ et que $\frac\pi2$ est dans les deux intervalles les plus souvent choisis pour l'argument, à savoir $\left]-\pi,\pi\right]$ et $\left[0,2\pi\right[$.

    Ceci étant, après division par $i\frac\pi2$, ta question revient à dire : est-ce que $\frac12\ln(a^2+b^2)+i\arg z$ est un logarithme de $z=a+bi$ ? La réponse est oui puisque \[\exp\left(\frac12\ln(a^2+b^2)+i\arg z\right)=\exp\ln\sqrt{a^2+b^2}\;\mathrm{e}^{i\arg z}=|z|\mathrm{e}^{i\arg z}.\]
  • Bonjour,
    Merci pour votre réponse !

    Effectivement j'aurais dû préciser que cette formule donnait un des $\log_i(z)$, pas le. :-)

    Autre question qui peut être utile pour cette formule. Selon l'identité d'Euler, est-ce qu'on peut considérer que $\ln(-1) = i\pi$ ?

    Au revoir et merci par avance.
  • Si on veut.
    Mais comme on ne peut pas utiliser les règles de calcul habituelles, ça n'avance à rien.

    Cordialement.
  • Bonsoir,

    On peut définir un logarithme complexe comme fonction holomorphe sur toute partie simplement connexe de $\mathbb C^*$. Par exemple, la détermination du logarithme définie sur le complémentaire de la spirale logarithmique $\rho = \exp(\theta-1)$ qui vaut 1 en 0. Que vaut alors le logarithme de $i$ ? de $-1$ ? de $22$ ?
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