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Domination

Bonjour
Je réfléchissais un peu sur le critère de domination qu'on voit dès la première année.

Critère.
Soient $(u_{n})$ et $(v_{n})$ ne s'annulent pas à partir d'un certain rang $N$.
$u_{n} \in O(v_{n})$ ssi la suite $(\frac{u_{n}}{v_{n}})_{n \geq N}$ est bornée.

La Démo de mon cours.
Pour $n\geq N$ comme $v_{n}$ est non nulle, alors $|u_{n}|\leq \lambda.|v_{n}|$ ssi $|\frac{u_{n}}{v_{n}}| \leq \lambda$.

Ma question est peut-être étrange mais bon, je veux être éclairé.
Qu'est-ce qui nous fait dire que l'entier $N$ est celui qui entraîne l'équivalence ?
En effet si je veux démontrer le résultat dans les deux sens.
Si je suppose que $u_{n} \in O(v_{n})$, lorsqu'il existe $M \in \mathbb{R_{+}}$, tel qu'il existe $N'$, pour tout $n\geq N'$ alors $|u_{n}|\leq M|v_{n}|$.
Je pense que prendre $n\geq \max\{N,N'\}$ permet d'avoir $(\frac{u_{n}}{v_{n}})_{n \geq N}$ est bornée. Et on ne dit pas si la suite précédente est bornée à partir d'un certain rang. La démonstration du livre n'est-elle pas un peu floue sur le choix de $n$ ?
Si je trace un graphique pour illustrer ce que je pense, on a125138

Réponses

  • Tu as raison, le $N$ qui permet de donner un sens à $(u_n/v_n)_{n\ge N}$ n'a aucune raison de convenir pour assurer que $u_n\le\lambda v_n$ ou que $\frac{u_n}{v_n}\le\lambda$. Ce n'est pas un problème pour autant.

    Ce qui est écrit, c'est « $u_n\le \lambda v_n$ SSI $\frac{u_n}{v_n}\le\lambda$ » pour tout $n\ge N$.

    Il n'est pas écrit que ces inégalités sont vraies pour tout $n\ge N$ ! Il est sous-entendu qu'elles le sont pour « $n$ assez grand ». Autrement dit, si on fait l'hypothèse de domination $u_n=O(v_n)$ ou l'hypothèse que $(u_n/v_n)_{n\ge N}$ est bornée, alors il existe $\lambda>0$ et $N'\ge N$ tels que l'une des inégalités est satisfaite, auquel cas l'autre l'est automatiquement. Cela entraîne l'équivalence.
  • Merci MC, je me disais la même chose :-)
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