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L'exponentielle à partir de l'équa diff

Bonjour,

Lorsque j'étais au lycée, mon professeur intruisait la fonction $\exp$ de la façon suivante :

Théorème : Il existe une unique fonction $f$ définie, continue et dérivable sur $\R$ telle que $f'=f$ sur $\R$ et telle que $f(0)=1.$

Une fois la théorème prouvé, on convenait de noter cette fonction $\exp$ et on démontrait aisément les propriétés classiques. Seulement plus tard, viennent alors la définition du logarithme naturel (comme inverse de $\exp$) et le calcul de leur primitive.
Cette démonstration ne faisait pas appel au calcul intégral ou à la notion de primitive (ces notions venaient plus tard). Seuls les résultats déjà connus sur les dérivées et les limites étaient utilisés. (Evidemment pas de "série" non plus)

Quelqu'un aurait-il une idée de la preuve utilisée ? Je suis absolument incapable de la retrouver par moi-même. (Ou plutôt chaque fois que je le fais, j'en suis réduit à utiliser du calcul intégral.)

D'avance merci. :-)

Réponses

  • Si j’ai bien compris : tu cherches à démontrer que la fonction $\ln$ est dérivable sur son domaine et de dérivée $x \mapsto \frac{1}{x}$. Tout ça en partant de la définition de l’exponentielle par l’équation différentielle et de ses propriétés élémentaires.

    Sinon, peux-tu nous dire quel théorème exactement ?
    En effet quand tu dis « leur primitive », je ne comprends pas ce « leur ».
  • Bonjour Cyrano.

    La première épreuve du capes 2014e est bien détaillée.

    e.v.
    À ta naissance, tu pleurais tout le temps et tout le monde souriait autour de toi. Fais en sorte qu'à ta mort, ce soit l'inverse. (Proverbe arabe)
  • Non Dom tu n'as pas compris il n'est pas question de $\ln$ ici.
    Je cherche à démontrer l'existence et l'unicité de la solution d'une équation différentielle sans faire appel aux notions d'exponentielle, logarithme, primitive, intégrale, etc ...
    La solution de l'équation sera par suite définie comme étant l'exponentielle.
  • Parfait ev. En plus on fait d'une pierre deux coups puisqu'on prouve aussi directement que la solution est $\lim_{n \to +\infty} \left(1+\frac{x}{n}\right)^n.$

    Maintenant pour être honnête, je pense que ce n'était pas la preuve que j'avais apprise à l'époque. Elle me semblait plus simple et n'utilisait pas la limite en question.
    Merci en tout cas pour cette réponse très satisfaisante.
  • Ha oui ok.
    C’était même dans les programmes de TS ou plutôt dans les document d’accompagnement.
  • J'avais aussi appris ça de cette manière, et d'ailleurs ça avait fait grand effet car c'était le premier exemple de fonction que l'on définissait vraiment "à la main" à partir de choses intuitivement claires.
  • Cyrano, tu étais au lycée quand? Je n’ai jamais démontré l’existence quand j’enseignais en Terminale S.
  • En fait maintenant que j'y pense, la solution d'ev est "constructive" puisqu'on donne explicitement la fonction.

    Je me demande s'il ne serait pas possible de le démontrer autrement, sans forcément avoir une formule explicite. Ce serait un bel exemple d'énoncé existentiel démontré "abstraitement".
    Je suppose qu'on pourrait entre guillemet refaire Cauchy-Lipschitz dans ce cas ultra particulier, mais ça impliquerait quand même de démontrer un lemme de point fixe (vraiment très élémentaire pour le coup) et de terminer par une reformulation de l'équation en équation intégrale $f(x) = \int_0^x f(t) dt +1.$ C'est cette dernière étape que j'aimerais éviter.
  • @Ibni : J'étais en terminale en 2009 mais je viens de Belgique donc les programmes peuvent être un poil différents. ;-)

    Cela dit, aujourd'hui, mes collègues profs de secondaire procèdent totalement autrement. Ils voient les primitives d'abord, introduisent le $\ln$ comme primitive de $1/x$ puis seulement après définissent l'exponentielle comme fonction inverse du logarithme.
    Je trouvais la façon dont je le voyais beaucoup plus intéressante.
  • Ah ok :-), je comprends mieux.
  • Dans les programmes de TS l’existence était admise si ma mémoire est bonne (seule l’unicité était démontrée).
  • Biely : je confirme !
  • Cyrano, tu peux chercher comment Foys construit l’exponentielle à partir de conditions minimales (parfois exotiques mais toujours bien trouvées). Il y a au moins un autre fil sur le sujet.
    Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
            -- Schnoebelen, Philippe
  • Côté CAPES, il y avait un problème sur le thème de ce fil déjà en 2004. Voici l'énoncé pris sur le site de l'UPS.
  • @nicolas : Oui j'ai retrouvé le fil : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?18,1924216,1924666

    Foys démontre notamment l'existence (ce que les autres méthodes ne font jamais) à partir de la série (sans utiliser le mot série).
    Je me demande si on ne pourrait pas utiliser le critère de d'Alembert "sans le dire" pour aller encore plus vite.
  • Je te conseille aussi d'aller voir le bouquin de Mercer, More calculus of a single variable, Springer, 2014 ( https://www.springer.com/gp/book/9781493919253 ).
  • Si c’est pour des lycéens, cette année pour les premières j’ai fait comme en TS :
    - conjecturer l’existence en utilisant une approximation de la fonction par ses tangentes sur des intervalles de plus en plus petits (je leur ai fait avec des intervalles de longueur 1, puis je leur ai fait faire avec des intervalles de longueur 1/2, et on a tracé les résultats obtenus)
    - admettre l’existence
    - démontrer l’unicité.

    C’est peut-être pour cela que tu ne retrouvais pas la démonstration de l’existence, Cyrano…
  • @Eric : je suis intéressée par le livre dont tu parles. Pourrais-tu en dire plus ? Merci
  • Oui Laurette, cette approche "analyse numérique" me semble pas mal. ;-)
    Merci.
  • Eric est toujours de bon conseil en matière de livres, et son érudition force l'admiration.

    Ce livre-ci prend les choses de la façon la plus élémentaire possible, et ne passe pas la moitié de la vie dans les subtilités de la construction des réels et la discussion byzantine pour savoir si les diverses constructions donnent le même $\mathbb R$ ou non. Il fait ce que je préconise, il annonce d'emblée qu'il suppose du lecteur une certaine familiarité avec les réels, et il commence à travailler avec ces nombres. Les objets mathématiques sont faits pour travailler avec, non pour être contemplés indéfiniment.

    Ce livre rappelle d'abord les propriétés basiques : intervalles, rationnels et irrationnels, valeur absolue, suites monotones. La complétude est présentée par ses deux interprétations les plus simples : le théorème de la limite monotone et les intervalles emboîtés, sans mentionner d'abord la borne supérieure ni les suites de Cauchy, qui feront tout de même l'objet d'exercices.

    Ensuite, le lien donné par Eric fournit les titres de chapitres, où l'on voit que le départ élémentaire n'empêche pas de traiter des sujets très variés et intéressants. De nombreux exercices permettent d'aller plus loin (malheureusement non corrigés). Et une riche bibliographie, livres et articles, à la fin de chaque chapitre.

    Enfin, un « Epilogue » donne à réfléchir sur les divers axiomes qui définissent $\mathbb R$, et c'est bien là la place de cette réflexion, pour méditer sur ces objets après s'être bien familiarisé avec, par leur usage. Et bien sûr, unicité de $\mathbb R$ à isomorphisme près. Conclusion : So $\mathbb R$ is a pretty good place to do mathematics.

    D'accord donc avec Eric pour souligner l'intérêt de cet ouvrage pour le niveau bac+1.

    Bonne journée.
    Fr. Ch.
  • Merci Chaurien.
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