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Formule de Poincaré

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Réponses

  • $\newcommand{\card}{\mathrm{card\,}}$@Noobey
    Cet exercice est hors de portée des terminales.

    Remarque :
    $n$ divise tous les $p_i$ donc on peut enlever la partie entière.

    @RLC
    Donc dans le raisonnement il faut écrire $\card (A_i \setminus \{0 \})=\dfrac{n}{p_i}$ ?
  • Mais il n'y a pas 0 dans les A_i de base !
    Bon, et en remettant dans la formule ça donne quoi ?
  • Oshine tu as oublié dans ton comptage une infinité de multiples de p inférieurs à n. -p,-2p,-3p,... sont des multiples de p et sont inférieurs à n
  • Mais tu te compliques vraiment la tâche.
    C'est à toi de définir tes $A_i$. Si tu les définis comme tu dis (avec 0 compris) toute ta démonstration est à changer.
  • Je note qu'il n'a toujours pas traité le cas $n=10$...
  • OS a écrit:
    $n$ divise tous les $p_i$
  • Soit $(T,\wedge,\vee)$ un ensemble muni de deux lois de composition internes commutatives, associatives et distributives l'une par rapport à l'autre (autrement dit $a\vee (b \wedge c)=(a \vee b) \wedge (a \vee c) $ et $a \wedge (b \vee c) = (a \wedge b) \vee (a \wedge c)$).

    Soit $(M,+)$ un ensemble muni d'une loi de composition interne associative et commutative.

    Soit $f: T \to M$ une fonction telle que pour tous $x,y\in T$, $f(x\vee y) + f(x\wedge y) = f(x)+f(y)$.

    Alors pour tout entier $n\geq 2$ et tous $x_1,x_2,...,x_n\in T$, on a l'égalité $$
    f \left ( x_1 \vee x_2 \vee ... \vee x_n \right ) + \sum_{1\leq k \leq \frac n 2} \left ( \sum_{i_1 < i_2 < ... i_{2k}}f \left ( x_{i_1} \wedge ... \wedge x_{i_{2k}}\right ) \right )= \sum_{0\leq k \leq \frac {n-1} 2} \left ( \sum_{i_1 < i_2 < ... i_{2k+1}}f \left ( x_{i_1} \wedge ... \wedge x_{i_{2k+1}}\right ) \right )
    $$

    Le cas $n=2$ est une reformulation de la définition, il peut être utile de traiter le cas $n=3$ à la main pour avoir une idée de comment organiser les calculs pour le cas général (qui se traite par récurrence sur $n$ comme on peut s'en douter).

    La formule d'inclusion-exclusion est un cas particulier de ce qui précède, où $M=\N$ , $T$ est l'ensemble des parties finies d'un autre ensemble et $f$ est le cardinal (et ledit cas peut se traiter en identifiant les termes de la somme avec ceux d'un produit, cependant on peut se passer d'un tel produit, c'est l'objet du présent message).
  • @Noobey
    C'est vrai (tu)

    @Nahar
    Ok.

    @Homo Topi
    Je ne vois pas trop à quoi sert le cas $n=10$ pour traiter le cas général.

    @Foys
    Je ne vois pas le rapport avec l'exercice.

    @Chaurien
    Merci pour ce document. Très bon cours, très détaillé. Une mine d'or B-)- Sauf la combinatoire avec les jeux de cartes ::o

    On a $n = p_1 ^{\alpha_1} p_2 ^{\alpha_2} \times \cdots \times p_r ^{\alpha_r}$

    Soit $E= \{ x \in \N \ | \ 1 \leq x \leq n \}$ donc $card(E)=n$

    Soit $F=\{ x \in \N \ \ 1 \leq x \leq n \ \text{ET} \ PGCD(x,n)=1 \}$. On veut montrer $card(F)= \varphi(n)$

    L'ensemble $E \backslash F$ est le complémentaire de $F$ dans $E$, il est formé des entiers $x$ compris entre $1$ et $n$ ayant au moins un diviseurs premier en commun avec $n$, c'est-à-dire divisibles par $p_1$, $p_2$ ou $p_r$.

    Notons pour tout $k \in [|1,n|]$ , $A_k =\{ x \in \N \ | \ 1 \leq x \leq n \ \text{et} \ p_k \mid x \}$

    On a $E \backslash F= \displaystyle\bigcup_{i=1}^r A_i$

    Donc $card(E)- card(F)=n- \varphi(n)=card ( \displaystyle\bigcup_{i=1}^r A_i)$

    Mais $card(A_i)=\dfrac{n}{p_i}$ et en général $card(A_{i_1} \cap A_{i_2} \cap \cdots \cap A_{i_k})=\dfrac{n}{p_{i_1} p_{i_2} \cdots p_{i_k}}$

    Donc $\varphi(n)=n+\displaystyle\sum_{k=1}^n (-1)^{k+1} \displaystyle\sum_{1 \leq i_1 \cdots < i_k \leq n} \dfrac{n}{p_{i_1} p_{i_2} \cdots p_{i_k}}$

    Je bloque ici.
  • Je ne sais pas trop quelle réponse émotionnelle avoir à ce que tu m'as répondu. C'est FOU que tu me dises ça. Pour quelqu'un qui a été à l'école, est un adulte, a fait des études supérieures, et enseigne les mathématiques.

    Tu essaies d'établir une formule pour répondre à une question d'exercice. Une formule, ça sert à quoi et ça sort d'où ? Une formule, ça sert à exprimer un fait général. Et ça sort très souvent du fait que quelqu'un remarque un truc sur un exemple, et vérifie si ça marche tout le temps ou non. Tu devrais savoir que parmi des enfants de 6ème, il y en a déjà qui peinent à comprendre $\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{1 \times 4}{3 \times 4} + \dfrac{1 \times 3}{4 \times 3}$ avec des chiffres connus et le dessin à côté... tu voudrais leur balancer $\dfrac{a}{b} + \dfrac{c}{d} = \dfrac{ad+bc}{bd}$ directement, alors qu'ils ne maîtrisent pas encore le calcul littéral peut-être ? Traiter des exemples, ça sert à comprendre un mécanisme, qu'on peut ensuite essayer de généraliser. Un élève qui aura compris $\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{1 \times 4}{3 \times 4} + \dfrac{1 \times 3}{4 \times 3}$ pourra calculer d'autres sommes de fractions avec ça, sans jamais avoir vu la formule ni appris à lire une formule mathématique. C'est ça qu'on utilise. Le cerveau humain est une machine hyper-perfectionnée pour reconnaitre des motifs, donc souvent, traiter un exemple suffit à comprendre quel est le cas général.

    Toi, tu te bornes à essayer de faire le cas général tout de suite. Je te garantis que personne, ou presque personne, qui t'a répondu dans ce fil, a appris par coeur comment retrouver la formule pour $\phi(n)$ à partir de la formule du crible. C'est complètement inutile de retenir ça. Par contre, tout le monde ici peut retrouver le principe de la démonstration en 2-3 minutes en traitant un exemple. Sauf toi, parce qu'au lieu de traiter un exemple, tu veux magiquement trouver une idée qui relie deux formules abstraites qui n'ont pas les même notations. La formule du crible est une somme alternée de nombres entiers, la formule pour $\phi$ est un produit de rationnels. Tu veux te la sortir d'un chapeau magique ou quoi ?

    On se TUE à te répéter les choses que tout le monde ici, y compris toi, ont appris et retenu depuis l'école. On fait un dessin, on traite un exemple, on essaie de se donner une intuition de ce qu'il se passe pour avoir un plan d'attaque de la question. Si un exercice de géométrie ne te fournit pas une figure déjà faite, tu vas essayer de résoudre l'exercice formellement sans faire de figure, peut-être ?

    Ton problème, c'est que tu ne sais ni apprendre, ni travailler les mathématiques. C'est tragique pour tes élèves que tu aies réussi le CAPES, et ça ne m'amuse pas particulièrement de te dire ça.

    Autre chose : je pense qu'il serait très utile que finalement, tu nous dises avec quels livres tu travailles. Tu ne le mentionnes jamais, comme si c'était un secret que tu as absolument besoin de garder.
  • Je travaille avec les Dunod tout en un j'intègre MPSI et MP. Deux pavés de plus de 1300 pages.
    Ils contiennent tout le cours avec toutes les démonstrations, des exercices proches du cours et des exercices plus difficiles en fin de chapitre une vingtaine par chapitre parfois plus parfois moins.
  • Maintenant, traite-moi le cas $n=10$ en entier. Je vais finir par devenir grossier si tu ne commences pas enfin à appliquer les conseils qu'on te donne.
  • Te bloques encore ? http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,2276078,2277222#msg-2277222
    C'est difficile de se concentrer avec toi.
    $n- \varphi(n)=\card ( \displaystyle\bigcup_{i=1}^r A_i)\Longrightarrow \varphi(n)=...$.
    Sinon tu peux utiliser les questions précédentes autant de fois que tu veux !
  • Inutile de prendre "Deux pavés de plus de 1300 pages" quand on ne connaît pas les prérequis (programmes du lycée) parce qu'on ne comprend pas comment fonctionnent les maths : Pas seulement sur la mémoire, mais sur une compréhension globale (les liens entre les différentes idées, une idée de ce dont parlent les notions, ..); on peut savoir par cœur 10000 exercices, ça ne donne pas le corrigé d'un nouvel exercice. Et quand en plus on oublie au bout de 6 mois ce qui a été "appris" ...
  • @Homo Topi
    Je ne comprends pas à quoi sert le cas $n=10$, tout le monde sait faire, en quoi ça aide à simplifier la grosse somme ?
    $n=10= 2 \times 5$
    On a $\varphi(10)= \card \{1,3,7,9 \}=4$
    On a bien $10 \times (1- 1/2)(1-1/5)=10 \times \dfrac{1}{2} \times \dfrac{4}{5}=4$
    Voilà quel intérêt ?

    @Nahar
    Je ne trouve pas comment simplifier cette somme $\varphi(n)=n+\displaystyle\sum_{k=1}^n (-1)^{k+1} \displaystyle\sum_{1 \leq i_1 \cdots i_k \leq n} \dfrac{n}{p_{i_1} p_{i_2} \cdots p_{i_k}}$.
  • Déjà pour le $+$ il faut corriger.
    Sinon tu dois montrer une égalité et tu as un résultat intermédiaire. Quels réflexes dois-tu avoir?
  • Tu n'as encore rien compris quand on te dit de traiter un cas simple ! Ce n'est pas "VÉRIFIER QUE LA FORMULE EST JUSTE". C'est faire la démonstration générale dans le cas particulier. Elle est où la formule du crible dans ce que tu as fait ? Ils sont où les $A_i$ ?
    OS a écrit:
    On veut montrer $\card(F)=\varphi(n)$.
    NON, encore une fois, tu comprends que dalle. La définition de $\varphi(n)$, c'est $\card(F)$ donc on le sait, y a rien à montrer.
    Mais de toute façon, tu t'es bien inspiré du papier de Chaurien pour faire ta rédaction ce qui veut dire qu'à partir de maintenant, on t'aide à comprendre une correction. C'est ce qu'on fait sur ce forum avec toi depuis le début. Donc conformément à mes principes et à ce que j'essaye de me promettre te concernant, j'arrête là de t'aider et de te répondre pour ce topic.

    Sache que bien que cette question n'a rien d'évident et de facile (tout le monde sera d'accord là dessus je pense), le problème, c'est que tu ne montres rien de positif dans sa résolution. On ne te demandera jamais forcément de tout résoudre, parfaitement, d'un coup d'un seul, mais d'essayer avec des réflexes et des habitudes de matheux, avec une curiosité, une mémoire, une réflexion que tu n'as jamais montré un seul instant.
  • @Nahar
    Je ne sais pas comment arriver au résultat.

    @Alexique
    Oui j'ai recopié le début mais je ne comprends rien à la fin du raisonnement dans le document comment les sommes se simplifient donc j'ai laissé tomber.
  • Est-ce que tu as réfléchi comment arriver au résultat ?

    Pour $n=10$, écris la décomposition en facteurs premiers, détermine les $A_i$, définis un ensemble ambiant $E$ dans lequel tu résous le problème... fais des maths, quoi !
  • Oshine il est l'heure de laisser tomber l'exercice tu énerves tout le monde sur le forum. Y a trop de pavés pédagogiques et de mauvaises ondes sur le topic et tu vas de toute façon rien tirer de ce sujet comme 95% de tes autres sujets. On est déjà à 71 messages pour un exercice pas facile mais qui n'en mérite quand meme pas autant. C'est un nouvel échec
  • OShine, quand vas-tu faire cette pause promise depuis des semaines ? Tu vois bien que ça ne sert à rien de persister dans ton état.
  • Bon, allez... en fait, dans ce message tu étais vraiment très près du but. Tu avais tous les morceaux, sauf un.

    Il faut en fait que tu réutilises la question 2, parce qu'on t'y fait écrire la formule utile. Elle n'est pas écrite sous sa forme "utile" dans ta réponse mais je te la donne, essaie de retrouver cette forme toi-même à partir de celle que tu avais (il suffit de compacter les sommes et les produits) :
    $\boxed{\displaystyle \prod_{k=1}^n(X- a_k) = X^n + \sum_{k=1}^n (-1)^k \sum_{1 \leqslant i_1 < ... < i_k \leqslant n} \bigg(\prod_{j=1}^k a_{i_j}\bigg)X^{n-k}}$

    Ce que tu as écrit, quand on recolle tout ensemble (y compris le contenu de ce message) et qu'on compacte tous les produits, c'est ceci :

    $\varphi(n)$
    $\displaystyle = n - \text{card}\bigg( \displaystyle \bigcup_{i=1}^r A_i \bigg)$
    $\displaystyle = n - \sum_{k=1}^r (-1)^{k+1} \bigg( \sum_{1 \leqslant i_1 < i_2 < ... < i_k \leqslant r}\text{card}(A_{i_1} \cap \dots \cap A_{i_k}) \bigg)$
    $= n - \displaystyle \sum_{k=1}^r (-1)^{k+1} \bigg( \sum_{1 \leqslant i_1 < i_2 < ... < i_k \leqslant r}\bigg[n \times \prod_{j=1}^k \dfrac{1}{p_{i_j}}\bigg]\bigg)$

    Si on met $n$ en facteur : $\varphi(n) = n\bigg[1 - \displaystyle \sum_{k=1}^r (-1)^{k+1} \bigg( \sum_{1 \leqslant i_1 < i_2 < ... < i_k \leqslant r}\bigg[\prod_{j=1}^k \dfrac{1}{p_{i_j}}\bigg]\bigg)\bigg]$

    Et là, ben, c'est terminé.
  • Par contre utiliser la formule du crible pour calculer l'indicatrice d'Euler me paraît inutilement fastidieux, d'autant plus avec l'approche qu'ils proposent qui nécessite de tordre le cou au raisonnement pour amener le crible sur le tapis (puisqu'on a naturellement le cardinal d'une intersection bien plus simple à évaluer avec leur méthode, plutôt que de prendre celui de l'union avant de passer au complémentaire).

    On remarque facilement en regardant la formule qu'ils proposent que phi est multiplicative. Je propose donc une résolution alternative bien plus simple même si évidemment dans le même esprit.

    1) Montrer que si m et n sont premiers entre eux, alors : $\phi(mn) = \phi(m)\phi(n)$.

    2) Conclure.
  • Puisque c'est un exercice sur la formule du crible, la question est plutôt de trouver une "meilleure" application à la fin. L'indicatrice d'Euler a des propriétés intéressantes, mais s'il y a plus simple pour retrouver ses propriétés essentielles, je suis d'accord avec toi que la résolution est un tant soit peu capillotractée.
  • Par exemple on peut calculer le nombre de dérangements d'un ensemble à n éléments.

    Pour le contexte à OShine :

    Le club des adorateurs de Dunod MPSI tout en un se réunit chaque mois, chacun venant avec son exemplaire du livre pour débattre du pourcentage d'élèves réussissant à faire chaque exercice.
    Les n membres du club se retrouvent et posent chacun leur exemplaire du livre sur une grande table. Après une session de travail acharné durant laquelle ils concluent inlassablement que chaque exercice est impossible à cause du niveau toujours plus bas au lycée, ils PRENNENT UNE PAUSE.
    En revenant, tout le monde a oublié quelle était sa place d'origine. Rien de bien grave, chacun n'a qu'à repartir chez lui avec un livre au hasard puisque ce sont tous les mêmes.
    Mais quelle est alors la probabilité que personne ne soit reparti avec son propre livre ?

    J'attends ton "Je n'ai pas compris c'est du chinois" avec impatience.
  • Je ne connaissais pas le nom "dérangement" pour ces permutations-là, tiens.
  • Excellent ton exercice @RLC, cela m'a bien fait rire et cela tout en ayant le fameux Dunod MPSI ainsi que le MP en face de moi :-D !
  • @RLC
    $(1-\dfrac{1}{n})^n$

    La deuxième semaine du MOOC commence : connecteurs logiques et quantificateurs.

    @Homo Topi
    Ok merci.
  • Non ce n'est pas ça mais pas grave, bon courage pour la 2e semaine.
  • Tu peux développer un peu ton avis faux ? Tu n'aurais pas comme oublié qu'il fallait la formule du crible ?
  • Il est bien cet exo RLC, je crois qu'il était apparu sous une forme plus sobre dans le sous-forum probabilités.
  • On pose $A_i$ l'évènement la personne numéro $i$ choisit son livre pour tout $i \in [|1,n|]$.

    On cherche $P ( \overline{ \bigcup_{i=1}^n A_i})=1-P(\bigcup_{i=1}^n A_i)$

    Or $P(\bigcup_{i=1}^n A_i)= \dfrac{ \card (\bigcup_{i=1}^n A_i)}{n}$ car $\card \Omega =n$

    Llorte LEG merci. Je prépare les cours du collège en parallèle ça fait beaucoup.
  • L'égalité de la 3e ligne c'est n'importe quoi (c'est quoi Omega?) Mais bon, vaut mieux pas passer 50 pages dessus. Peut être arriveras-tu un jour ce type d'exo...
  • Tu commences bien. Cependant il faut finir, je ne vois pas pourquoi tu t'arrêtes là. Et peut-être qu'en calculant le cardinal des Ai tu comprendras pourquoi ton égalité finale est fausse.
  • L'univers.
  • Mais c'est quoi l'univers ici ? C'est quoi l'expérience aléatoire d'abord ? On lance un dé à six faces ? On tire une carte dans un jeu de 52 cartes ?
    Tu ne t'interroges même pas sur le tout début du raisonnement de proba à savoir "on fait quoi ?". C'est quand même incroyable à quel point tu ne comprends rien. Pourquoi l'univers serait $[|1,n|]$ ?? As-tu essayé $n=3$ ou $n=4$ par exemple pour voir ce qui se passe ?

    Je ne sais plus qui me disait que "l'univers on s'en fiche et on ne le précise jamais" mais ça n'est absolument pas vrai pour les petits problèmes de lycée en tout cas. A partir de la spé/L2 où toutes les variables aléatoires sont définies sur un $\Omega$ abstrait, certes, on ne précise que le support image $X(\Omega)$. Mais sinon, bien définir l'univers et la proba, c'est quand même la première chose à faire pour définir un espace probabilisé et faire correctement des proba.

    Comme cela a été dit, il faut chercher les permutations de $S_n$ sans points fixes ie les mélanges des gens tels qu'aucun ne se retrouve avec son livre de départ, ça s'appelle un dérangement. Le lien de Chaurien explique comment faire ou encore la page wikipédia du problème des rencontres.
  • Ok merci Alexique, la réponse est donnée sur Wiki j'étais bien parti, par contre j'aurais du penser à calculer le :

    $P(A_{i_1}) \cap A_{i_2} \cap \cdots \cap A_{i_k})=\dfrac{ (n-k)!}{n!}$

    Dès qu'on a ça, le reste c'est juste des petits calculs.
  • Permutation sans point fixe... J'ai étudié cela en ts spe mathématiques avec monsieur GL... Malheureusement décédé
  • Sais-tu ce qu'est un ensemble connexe ?
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