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Variables aléatoires indépendantes

Bonjour à tous, voici l'exercice qui me pose souci.

Soient $n$ un entier naturel non nul, $X$ et $Y$ des variables aléatoires indépendantes suivant toutes les deux la loi binomiale de paramètres $n$ et $\frac{1}{2}$. Calculer la probabilité que $X$ et $Y$ prennent la même valeur.

Je vous propose ma solution (dans les grandes lignes).
\begin{align*}
P(X=Y) &=\sum_{k=0}^n P\big((X=k) \cap (Y=k)\big) \\
&=\sum_{k=0}^n P(X=k) \times P(Y=k) \\
&=\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}\biggl(\frac{1}{2}\biggr)^k\biggl(\frac{1}{2}\biggr)^{n-k} \times
\binom{n}{k}\biggl(\frac{1}{2}\biggr)^k\biggl(\frac{1}{2}\biggr)^{n-k} \\
&=\biggl(\frac{1}{2}\biggr)^{2n} \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}^2 \\
&=\frac{1}{4^n}\binom{2n}{n}.

\end{align*} Ma solution (en supposant qu'elle soit correcte) requiert la connaissance de l'égalité $\quad\displaystyle{\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}^2=\binom{2n}{n}}$.
Quelqu'un a-t-il une solution autre, sans avoir recours à cette égalité ?
Je remercie d'avance quiconque me répondra.

Réponses

  • Bonjour,
    Sur les 2n lancers de dés effectués par les deux joueurs X et Y, on considère l'ensemble E des lancers qui ont donné une face pour X et de ceux qui ont donné un pile pour Y. C'est un sous-ensemble de l'ensemble des 2n lancers de dés. Eh bien E est de cardinal n ssi X et Y ont obtenu le même nombre de faces. Donc le nombre de résultats exhaustifs des lancers de dés qui donnent le même nombre de faces à X et Y est égal au nombre de sous-ensembles de E, i.e. n parmi 2n.

    PS. Je me suis inspiré de la preuve combinatoire de ton identité qui repose sur l'égalité k parmi n = (n-k) parmi n.
  • Variante: les vecteurs $(X,Y)$ et $(X,n-Y)$ suivent la même loi $\mathcal{B}(n,1/2)^{\otimes 2}$ donc, si on pose
    $\Delta=\{(x,x)\mid x\in\R\}$, on a

    $P((X,Y)\in \Delta)=P((X,n-Y)\in \Delta)$, soit $P(X=Y)=P(X+Y=n)$, or $X+Y\sim\mathcal{B}(2n,1/2)$, d'où le résultat.
  • C'est plus élégant présenté comme ça, alea (tu). On peut aussi dire $ P(X=Y)=P(X+(n-Y)=n)= 4^{-2n}\binom{2n}n$ car $n-Y$ suit ${\cal B}(n,1/2)$ et est indépendante de $X$ ; ça revient au même.
  • Merci d'avoir pris le temps de répondre. Je précise le contexte : classe prépa BCPST1ère année dans un lycée de niveau très modeste. Je ne pense pas que l'élève que j'essaye d'aider ait appris la somme de variables aléatoires suivant la même loi binomiale...
  • @Nemor : connais-tu la formule de Vandermonde ?
  • Ce n'est quand même pas très dur: la loi binomiale B(n,p) étant, par définition la loi de la somme de n variables de Bernoulli indépendantes, la somme indépendante d'une variable suivant B(n,p) et d'une variable suivant B(n',p) est la somme de n+n' variables de Bernoulli indépendantes; fin de l'histoire.
  • Oui mais ce résultat ne doit être vu qu'en BCPST2 je crois.
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