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Malentendu sur l'addition des fractions

Je sais expliquer mathématiquement et illustrer géométriquement pourquoi "en temps normal", $\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{4}$ ça donne $\dfrac{7}{12}$ et pas $\dfrac{2}{7}$.

Cependant, les élèves voient régulièrement sur leurs copies que quand on compte les points d'une interro, $1$ point sur $3$ à l'exercice 1 et $1$ point sur $4$ à l'exercice 2, ça fait $2$ points sur $7$ sur la copie ! En plus, les profs écrivent les notes à chaque exercice comme une fraction. Comment expliquez-vous à vos élèves que, malgré qu'ils aient l'impression que $\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{4}$ ça fait $\dfrac{2}{7}$ parce qu'ils voient quelque chose comme ça sur leurs copies, l'addition des points qui sont écrits en écriture fractionnaire sur leurs copies n'est pas une addition normale de fractions ?

Je n'ai encore jamais trouvé de "bonne" explication, pédagogique, claire, et qui lève la confusion avec la "vraie" addition de "vraies" fractions dans la tête d'un gamin de 10-12 ans. Je serais curieux de savoir ce que vous avez trouvé comme astuces.

Sachant que l'addition des fractions, avec la recherche d'un dénominateur commun, ça en embrouille beaucoup déjà assez comme ça, un truc du quotidien (surtout quelque chose d'important comme les notes à l'école) qui n'obéit pas aux règles qu'on essaie de leur enseigner alors qu'en apparence ça devrait, c'est très contre-productif.

Réponses

  • Bonjour.

    C'est parce que les fractions en jeu n'en sont pas, du moins prises séparément, sinon ils pourraient penser qu'ils ont eu un tiers à la première question et un quart à la seconde, le résultat n'est pas la moyenne des deux résultats partiels.

    Ils savent qu'ils doivent totaliser leurs points.

    Le cas extrême : ils ont 3/3 et 4/4 donc 200% au total.

    À bientôt.

    Cherche livres et objets du domaine mathématique :

    Intégraphes, règles log et calculateurs électromécaniques.

  • J’aime bien cet exercice pour expliquer :
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    Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
            -- Schnoebelen, Philippe
  • Il n'est pas difficile d'expliquer que dans les notations, 1/4 et 1/3 ne sont pas des fractions. D'ailleurs on les lit "1 sur 4" (ou "un point sur quatre") et "1 sur 3", pas "un quart" et "un tiers".
    Si des élèves sont assez bêtes pour confondre, est-ce au prof de travailler ?

    Bizarrement, aucun de mes condisciples des années 1960 ne confondait, même ceux qui avaient des soucis avec les calculs de fractions (et mon meilleur copain en était). Il faut arrêter de finasser sur tout parce que les élèves con -fondent.
    En 60 ans, j'ai vu les profs expliquer de plus en plus, les programmes diminuer et la masse des élèves n'en tirer aucun profit. Tout expliquer ne sert à rien, les élèves qui veulent comprendre s'ennuient, les autres n'écoutent pas, n'ont jamais écouté.

    Cordialement.
  • Malheureusement, l'enseignement maintenant c'est ça, les profs n'ont que deux choix : faire avec, ou changer de métier.

    Bizarrement, beaucoup de pays occidentaux ont de plus en plus de mal à recruter des profs, mais les psychopathes qui nous servent de gouvernements n'ont pas l'air de comprendre le message.
  • Bonsoir Gérard,

    Pourquoi ne serait-ce pas des fractions ?
    J'ai eu un quart des points au premier exercice et un tiers des points au second.

    À tous :
    Pour expliquer :
    Pour moi, une note est bien donnée en fraction dans la plupart du temps.
    Une note, c'est aussi un nombre entre 0 et 1.

    Enfin :
    La note finale est la moyenne des notes de chaque exercice pondérée par leurs barèmes respectifs.
    Ex 1 : a sur 3 (le poids est 3)
    Ex 2 : b sur 4 (le poids est 4)
    La moyenne pondérée est : $\dfrac{3 \dfrac{a}{3} + 4 \dfrac{b}{4}}{3+4}$

    Quand on ajoute à tort $\dfrac{a}{3}$ et $\dfrac{b}{4}$ on va avoir un problème si par exemple on a le maximum à chaque exercice.
    Autre exemple : j'ai 60% des bonnes réponses pour l'exercice 1 et 70% des bonnes réponses pour l'exercice 2. N'est-il pas étrange de dire "au total, j'ai 130% des bonnes réponses" ?

    Cela dit, c'est rare d'avoir la question. Mais pas impossible...
  • Bonjour,
    oui Dom a raison
    la première note c'est 1/3 de 3, la seconde 1/4 de 4 donc cela fait
    1/3 *3 +1/4*4 soit 2 ou si l'on préfère 2/7*7 : deux septième de sept !
    Cordialement
  • Dom,

    ce ne sont pas des fractions que l'on ajoute, donc pas les fractions du mathématicien (ni même celles de la notation $2+\frac 13$). Et "Pour moi, une note est bien donnée en fraction dans la plupart du temps. " montre bien que tu conçoit la notation de façon très spéciale, très loin de ce que comprennent les élèves. D'ailleurs, comment tes élèves réagissent-ils quand tu leur dit "La note finale est la moyenne des notes de chaque exercice pondérée par leurs barèmes respectifs", alors qu'ils savent bien que tu as en fait additionné les points partiels pour faire une note "sur 20".
    Mais en fait, tout ça c'est du baratin (*) pour dire "j'ai raison", je sais que tu ne fais pas des moyennes pondérées (tout au plus une proportionnalité pour ramener à "sur 20" ou "sur 10".

    La question de HT concerne l'enseignement des fractions chez les jeunes enfants, donc dire "ce ne sont pas des fractions que l'on va ajouter" est très sain. Quitte à poser en exercice, quand on voit des moyennes, la question de savoir quelle moyenne donne la note finale. Et apprendre qu'on ne peut pas additionner sans risque de non sens des fractions de quantités différentes, ou des pourcentages de totaux différents devrait faire partie des programmes (**).

    Cordialement.

    (*) On peut assimiler tout couple de nombres dont un au moins est non nul à une fraction; ça n'en fait pas une fraction au sens de l'apprentissage à faire au collège.
    (**) Dans ma scolarité très ancienne, où les programmes tenaient 3 fois moins de place pour des contenus doubles, les instituteurs et professeurs de collège passaient du temps sur ce sujet. En commençant par "on n'additionne pas des choux et des carottes".
  • Merci d'avoir précisé les explications floues que j'avais données.

    À bientôt.

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  • Gerard0 a écrit:
    Tout expliquer ne sert à rien, les élèves qui veulent comprendre s'ennuient, les autres n'écoutent pas, n'ont jamais écouté.

    Je suis parfaitement d'accord avec ce principe, qui est une vraie règle de base de l'enseignement.

    Personne ne nous a expliqué comment marcher lorsqu'on avait 1 an (plus ou moins), et pourtant on y arrive tous...
  • J'aime bien l'explication de Mathurin, elle est suffisamment simple. Celle de Dom qui précède est probablement trop verbeuse et contient des calculs trop gros pour un élève perdu qui poserait ce genre de question sur les fractions, même si le principe est exactement ce qu'il raconte.

    Je suis d'accord que l'enseignement se porterait mieux si le principe serait que ceux qui veulent bosser bossent, et ceux qui ne veulent pas c'est leur problème, mais le monde ne fonctionne plus du tout comme ça. On déresponsabilise les enfants dans la construction de leur propre avenir, et tout (ou presque) repose sur le prof, jusqu'au bac. Evidemment, ça a des avantages et des inconvénients... en débattre serait intéressant mais je ne sais pas si ça sert à grand-chose, et ce n'est peut-être pas le bon fil pour ça.
  • Ce n'est certainement pas le bon fil pour parler de cela, effectivement.

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  • Un tour de passe-passe qui marque les élèves pour éviter le 1/3+1/4 = 2/7 c'est qu'en appliquant leur méthode on trouve 'une demie-baguette + une demie-baguette = une demie-baguette", puis effectivement enchaîner avec les choux et les carottes et insister sur le fait qu'en additionnant des demie-baguettes on compte le nombre de demie-baguettes et non de quarts de baguettes (en 4e on peut insister sur la distributivité).
    The fish doesnt think. The Fish doesnt think because the fish knows. Everything. - Goran Bregovic
  • Houlala Gérard, tu t’es emballé.

    Je n’ai pas raconté « ce que j’ai fait » ou « ce que je fais ».
    J’explique (je démontre !) qu’il s’agit d’une moyenne pondérée de chaque note sur chaque exercice.
    Tu as raison, je ne fais pas comme ça, évidemment.

    D’ailleurs, Homo Topi a parfaitement raison, mon texte est théorique et donc inaccessible à un élève de ces classes qui s’interroge.

    Je ne comprends pas le début de ton message : « ce ne sont pas des fractions que l'on ajoute, donc pas les fractions du mathématicien ».
    S’il y a 50% de filles dans une classe et 2/3 des élèves qui mangent à la cantine, il s’agit bien de deux fractions des mathématiciens mais les ajouter n’a pas de sens.
    J’ai pu mal comprendre…

    La suite aussi est bizarre : 15/20 n’est pas une fraction ? Ça ne reflèterait pas qu’on a réussi les trois quarts de l’évaluation (en terme de points) ?

    Et cela dit je suis d’accord avec Noix de toto : tout expliquer n’est pas la panacée.
    Par contre il faut savoir répondre aux questions.

    NB : Mon texte n’était pas destiné aux élèves.

    Cordialement
  • Dans le cas précis de la note sur 20, on peut considérer:

    * Que si l'on calcule 1/3+1/4 on cherche la quantité d'exercices résolus, sachant que notre unité serait "1 exercice complet" (et qu'a priori ils ne se valent pas, c'est bien pour cela que les points attribués diffèrent).

    * Que lorsque que l'on attribue la note, on cherche plutôt la proportion du contrôle résolue notre unité étant ici le point, d'où leur calcul juste ici (1+1)/(3+4) (quantité/total).

    En reprenant cet exemple avec des proportions qu'ils peuvent plus facilement additionner comme 1/2 et 3/4 ils peuvent comprendre qu'au total ils ont résolu 1 exercice et un quart (pour te faire plaisir) mais qu'en proportion ils ont résolu quelque chose entre 1/2 et 3/4 (et là ça peut mouliner un moment avant de comprendre pourquoi ils ont les 2/3 de la note).
    The fish doesnt think. The Fish doesnt think because the fish knows. Everything. - Goran Bregovic
  • Merci d' avoir précisé que $\frac{4}{7} = \frac{2}{3}$

    À bientôt.

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  • Merci de lire. Je comprends qu'enseigner ce soit donner des leçons, mais il y a peut-être moyen de se contrôler...
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  • Oui, tout cela est une application du vieux principe:
    "Une fraction est toujours une fraction de quelque chose, d'une certaine unité".
    En conséquence quand on additionne des fractions, il faut s'assurer qu'on parle bien de la même unité (au besoin en s'y ramenant).
    (Ici des points sur vingt.)
    Cordialement
  • J'ai lu, et j'ai vu qu'avec 4 points sur 7, les élèves doivent comprendre qu'ils ont 2 tiers des points, apparemment après une intense réflexion.

    Je les comprends.

    À bientôt.

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  • Avec 1/2 et 3/4 tu leurs mets combien exactement?
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  • D'accord, bis repetita non placent pour myself.

    À bientôt.

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  • Si on note sur 20
    $\frac{1}{2}×\frac{2}{20}+\frac{3}{4}×\frac{4}{20}$=$\frac{7}{20}$
    Si on note sur 6
    $\frac{1}{2}×\frac{2}{6}+\frac{3}{4}×\frac{4}{6}$=$\frac{4}{6}$
    Bref...
  • Biely,
    ta première égalité est fausse.X:-(
    cela donne 4/20 (et c'est heureux)
    Cordialement
  • Ah flûte! Bon je laisse ma coquille, ce sera ma punition.:-D
  • Il faudrait arrêter d'exiger des élèves qu'ils devinent intuitivement des règles non dites et les informer du fait que

    $\frac a b + \frac c d = \frac {ad+bc}{bd}$ et $\frac {ad}{bd} =\frac a b$ pour tous nombres $a,b,c,d$ tel que $b\neq 0$ et $d \neq 0$.
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • Ça Foys, c’est dit et répété sans cesse mais faut-il encore que ce soit accepté, réalisé, approprié…

    Mais là, il ne s’agit pas de cela.
    L’addition 1/3 + 1/4 n’a pas de sens, c’est tout.
    Comme dit d’une autre manière : avoir 3/3 puis 4/4 aux deux exercices n’apporte pas une note finale de 2 même si 3/3+4/4=2.
    C’est bien 7/7 par contre, mais ça ne vient pas de 3/3+4/4.
  • Dom a écrit:
    L’addition 1/3 + 1/4 n’a pas de sens, c’est tout.
    Les écritures ont le sens qu'on veut bien leur donner. A nouveau, il faut faire une annonce explicite (de règle d'emploi desdites écritures) avant d'exiger des raisonnements et des calculs.
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • Tu vois bien Dom, que ce ne sont pas des fractions, même Foys ne comprend pas !!

    On n'additionne pas les fractions 1/3 et 1/4, mais les points faits : 1+1 et les points possibles 3+4. Insister sur le fait que ce sont des fractions est rendre la suite incompréhensible.

    Ça fait bientôt 50 ans que je vois des profs de maths compliquer des choses simples (les élèves comprennent parfaitement les notations avec barème). Alors qu'il y a tant d'autres notions compliquées à expliquer simplement.

    Cordialement.
  • Amusant.
    Je ne vois pas d’argument.
    Tu as le droit de ne pas considérer que 1 point sur 3 dans le premier exercice est une fraction.
    J’ai le droit de m’en étonner.

    Je « n’insiste » pas : je dis que c’en est une, c’est tout.
    Mais je suis d’accord qu’on se fiche de cette information.
    Réussir la moitié d’un exercice, ça ne se dit pas ?
    Dont acte. Chacun dit ce qu’il veut.

    Sur « les profs qui compliquent », je suis d’accord.
    Je vois aussi énormément de profs qui contournent et qui cachent des choses (« parce que c’est trop difficiles pour les élèves » d’après eux). Je me suis aussi aperçu que plus ils cachent, moins ils savent en réalité…

    Attention Gérard, il est possible aussi que de nouvelles questions arrivent à certaines époques. Ça peut arriver.
    La question de ce fil a déjà été posée par des élèves.
    J’y vois surtout une perte drastique du fond et donc un renforcement du caractère superficiel de la note : « pourquoi j’ai pas les points, j’ai fait tous les exercices » un peu comme quelqu’un qui dirait « j’ai écrit tous les mots de la dictée, pourquoi n’ai-je pas 20/20 ? ». Ça pleurniche sur la note finale mais ça ne veut surtout pas comprendre et apprendre les notions évaluées.

    Mais je ne me chamaille pas.
    Ça me passe assez au dessus du cigare.
  • Alors mettons nous d'accord sur "les écritures de notes avec barème (*) ne s'additionnent pas comme des fractions", de même que "les pourcentages de quantités différentes ne s'additionnent pas" (**).

    Cordialement.

    (*) je ne dis pas fraction, comme je ne dis pas, en statisticien, que les numéro de sécurité sociale sont des nombres (ça ne s'additionne pas).
    (**) 50% des filles et 45 % des garçons ça ne fait pas 95% de je ne sais quoi.
  • Ok :-)
  • Dom a écrit:
    L’addition 1/3 + 1/4 n’a pas de sens, c’est tout.
    Aux élèves qui la posent on peut tout de même dire que leur calcul correspond à chercher le nombre d'exercices résolus: 1/3 d'exercice + 1/4 d'exercice donnent 7/12 d'exercice, avec a réserve que les exercices ne se valent pas.
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  • gerard0 a écrit:
    Tu vois bien Dom, que ce ne sont pas des fractions, même Foys ne comprend pas !!
    Ah mais je ne comprends jamais les énoncés avec symboles dont l'emploi n'est pas défini explicitement à l'avance!!
    De plus j'ai l'impression qu'il y a une mode d'avachissement croissant dans l'exposition des mathématiques.
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • Hum… Soc… cela donne une fausse idée justement parce que les exercices n’ont pas les mêmes poids.
    C’est 1/3 d’un exercice et 1/4 d’un autre.
    Comme ça a été dit, le plus important c’est d’additionner des fractions de la même chose.
  • J'en conviens mais c'est justement la question posée dans ce fil, comment combattre les idées fausses des élèves?
    Certains proposent de ne pas répondre à l'élève parce que sa question est trop déconnante.

    Pour ma part je préfère tenter de démêler les fils et donc lui expliquer à quoi correspond le 1/3 + 1/4 qu'il propose à savoir le nombre d'exercices résolus et ne vaut donc pas 2/7. Ensuite, oui, bien sûr, lui expliquer la limite de ce calcul car les exercices ne se valent pas.
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  • Sur "les profs compliquent", je ne suis spécifiquement pas d'accord. Moi, je ne complique rien du tout, mais quand un élève pose la question, il faut bien expliquer pourquoi les choses notées comme des fractions sur la copie ne s'additionnent pas de la même manière que les fractions du cours. Ou plutôt, pourquoi quand ils découvrent l'addition des fractions en cours, elle ne fonctionne pas comme l'addition des points écrits comme des fractions sur leurs copies. Ils découvrent les points sur les copies avant les fractions en cours, je pense que c'est bien pour ça qu'il y en a qui s'embrouillent à croire que $\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}$ ça fait $\dfrac{2}{7}$.

    Pour le coup, le truc des choux et des carottes, c'est fondamental. En français, on parle bien de "$n$-ièmes", ça fonctionne comme une unité de mesure. Je pense que c'est à enseigner en parallèle du calcul littéral, parce que les élèves comprennent facilement que les grammes et les mètres, ça ne s'additionne pas, et que des mètres fois des mètres, ça ne redonne pas des mètres. Ce qui est plus étrange, c'est que écrit en français, "un mètre plus deux mètres", ils voient tout de suite que ça fait "trois mètres", par contre le calcul $1m+2m=3m$ va en laisser perplexe plus d'un, d'autant plus étonnant quand ils savent que $m$ est le symbole pour "mètre"...
  • Bonjour, pour moi il n'y a pas de malentendu, mais juste une mauvaise notation.

    Les points de chaque exercices ils sont au numérateur et non au dénominateur. Le dénominateur c'est 20. Si l'exercice apporte 4 points, cela veut dire 4/20 qui facilement se décompose en 1/20 + 1/20 + 1/20 +1/20.
  • Homo Topi,

    tu n'étais pas particulièrement visé. mais j'ai corrigé des copies pendant 40 ans, sans jamais écrire des fractions pour la notation. Je mettais le nombre de points seulement; donc 1 et 1 dans l'exemple. Et à la fin, le total sur 20 (ou 10, ou 40).

    Et effectivement, si on écrit des notations de fractions, il y a un fort intérêt à expliquer. Mais alors on a commencé par compliquer.

    Cordialement.
  • Oui vorobichek,

    Mais ça n’empêchera pas de dire « j’ai eu 2 points sur 4 au premier exercice » ou « 3 réponses justes sur 7 au QCM ».
    Ça signifie bien avoir réussi 3/7 du QCM, par exemple.

    Annoncer « j’ai eu 2 points sur 20 au premier exercice », je trouve ça erroné, comme « 3 sur 20 au QCM » et on sent bien que c’est seulement pour que la somme corresponde à une somme de fractions licite.
    J’y vois même un manque d’honnêteté intellectuelle.
  • 7/20 que l'on écrit sur une copie, ou 3/5 à l'exercice n'est à mon avis pas vu comme fraction pour les élèves. Je n'ai jamais lu un seul élève écrire une fraction ainsi. Les élèves apprennent et écrivent les fractions ainsi : $\frac{7}{20}$ , $\frac{3}{5}$. Je doute que le truc avec une barre oblique puisse être vu comme une fraction.

    Cordialement
    Karl Tremblay 1976-2023, je t'appréciais tellement.
  • Qu’on le veuille ou non, quand on voit 3/5 pour l’exercice 1 il est légitime et juste de dire « j’ai eu $\frac{3}{5}$ des points de l’exercice 1 ». Pourquoi avoir si peur ?! :-S

    Ou encore, si un QCM propose 7 questions, pourquoi faudrait-il s’offusquer d’entendre « je n’ai réussi que $\frac{2}{7}$ des questions du QCM » ?

    J’ai l’impression que vous mettez votre regard ailleurs.

    Il y a plusieurs épreuves au CAPES (deux écrits coef. 1 et deux oraux coef. 2).
    Comme se sont des jours différents, ce ne serait pas comparable à quatre exercices ?
    Ce qui vous trouble, c’est que chacun des exercices n’est pas sur 20 ?
  • Salut dom,
    je ne pense pas que tu t'adresses à moi, mais comme ton message suit le mien, je réponds quand même.
    De mon point de vue aucun souci pour qu'un élève se dise j'ai eu $\frac{3}{5}$ des points à l'exercice 1, c'est tout à fait légitime et ça ne fait pas peur du tout.
    Je voulais juste souligner, que de mon de point de vue, il n'y pas de confusion d'écritures, avec les 3/5 qu'on écrit en face d'un exercice. Ce n'est pas la même notation que les fractions, je n'ai jamais vu un élève écrire une fraction ainsi, il ne voit jamais son prof le faire, donc pour moi ce n'est pas la notation 3/5 qui sera confondue avec une fraction. Si le prof écrit 3 pts sur 5 pts par exemple, un élève peut tout aussi bien penser qu'il a $\frac{3}{5}$ des points à l'exercice 1. Et ça ne me pose pas de problème non plus.

    Je ne sais pas si j'ai été clair. (Je viens de me relire, je sens que c'est confus mon truc.)
    Karl Tremblay 1976-2023, je t'appréciais tellement.
  • Le problème de compréhension (pour certains élèves éventuellement) ressemble un peu à la dernière figure de cet énoncé déjà évoqué (sauf que pour les notes c’est clair!)
    http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?18,2211382,2211382,quote=1
  • Je ne comprends plus pourquoi le malentendu persiste.

    D'un point de vue opératoire, on a vu comment justifier le calcul correct des points d'un contrôle ayant des questions de pondérations différentes.

    Partant, donner les bonnes explications à des élèves qui organisent mal le calcul de leurs points (et j'ai montré dès mon premier message ce que je pensais des élèves qui font cela), c'est une formalité à tous niveaux car il est très simple de réexpliquer dix, vingt fois s'il le faut en prenant à chaque fois leurs points pour les conscientiser.

    Que ces calculs ne représentent pas les calculs de sommes de fractions est aussi un faux problème, les exemples ne manquant pas pour faire des sommes de fractions.

    Donc où est encore le malentendu ?
    À bientôt.

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  • Ok zeitnot.
    Je m’adresse à ceux qui « interdisent » de lire une fraction pour les points donnés sur un exercice dans une évaluation.
    C’est fondé, c’est tout.

    Je comprends ton message qui parle de notation essentiellement.
    En effet, ça existe mais c’est très rare d’écrire dans les copies une fraction avec le slash.
    Au début des années 2000, j’en ai déjà vu [des collégiens] le faire.

    Sur un PC, on en voit davantage ou sur le forum d’ailleurs.
    Mais les nouveaux outils ont participé à une meilleure écriture des maths.

    Dreamer, tu as raison, je crois qu’il n’y a pas de malentendu.
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