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Image de f’

Bonjour

Soit $f$ une fonction de $\R$ dans $\R$ dérivable avec $\lim\limits_{x \to \pm \infty} \dfrac{f(x)}{|x|} = + \infty$.
Montrer que $f’(\R) = \R$.

Merci.

Réponses

  • Simple application du TAF ?

    Si $f'$ majorée alors on obtient au voisinage de $+\infty$ une majoration de la forme $f(x)\leq ax+b$, qui contredit l'hypothèse.
    Idem si $f'$ minorée en regardant en $-\infty$
    On conclut avec Darboux.
  • Plus directement on applique le TAF à $\frac{f(x) - f(0)}{x}$ prolongé convenablement en 0
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    Citation :  Je suis Jack 
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