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Simplification expression avec puissances ...

Bonjour
Ça fait longtemps que je suis sur cet exercice et je suis bloqué.

Simplifier l'expression suivante $A$ et montrer qu'elle ne vaut pas $\frac{1}{2}$.
$$A=1-\sum_{i=0}^{n}\left(\frac{i}{n} \right)^{\frac{1}{N}}\binom{n}{i}\Big[1-\big(\frac{1}{2}\big)^N\Big]^{n-i}\Big[\big(\frac{1}{2}\big)^N\Big]^{i}, $$ où $N \in \mathbb{N}$.

J'ai tout essayé (développer, appliquer le binôme de Newton ...), les expressions sont encore pires que celle de $A$, je ne sais que faire.
Merci.

Réponses

  • Cette question s'inscrit-elle dans le contexte d'un exo de proba ? On reconnaît dans le $\sum$ un calcul d'espérance lié à une loi binomiale. Au reste, il est curieux que l'on demande de montrer que $1-\sum\neq1/2$ plutôt que $\sum\neq1/2$ (sauf, justement, si le contexte de l'exo le justifie).
  • Bonjour,
    oui il s'agit d'un exercice de proba. Effectivement, c'est moi qui ai reformulé la question et il faut plutôt montrer que $\sum \neq \frac{1}{2}$.
    J'ai en effet reconnu une espérance mais ça ne m'aide pas pour simplifier cette expression horrible, je ne vois pas ce que je pourrais faire .

    merci
  • Bonjour, fifi,

    je t'ai posé la question de savoir si on parle de proba, car le $\sum$ est aussi la valeur en $1/2$ du polynôme de Bernstein $B_N(f)$, où $f:x\mapsto x^{1/N}$. Cela ne permet pas a priori le calcul de $A$ mais cela en donne une valeur approchée.
  • d'accord, je ne connaissais pas cela, je vais faire des recherches alors !
    merci
  • Sinon, es-tu sûr de l'exposant $1/N$ ? Sa présence rend douteuse l'existence d'une simplification, sachant qu'il n'y a pas de symétrie bien visible dans les termes.
  • oui, j'en suis sûr :)

    Tant que j'y suis, j'ai une question subsidiaire : comment justifier le fait que je peux dériver $(1-p)^N$ par rapport à $N$, qui est donc une variable à valeurs entières (et $p \in [0,1])$ ?

    merci
  • Bonjour.

    La fonction de $\mathbb N$ dans $\mathbb R$ définie ainsi : $N\mapsto (1-p)^N$ n'est pas dérivable, puisqu'elle n'est pas une fonction numérique. Et si tu veux en faire une fonction de $\mathbb R$ dans $\mathbb R$, elle devient
    $N\mapsto (1-p)^N 1_{\mathbb N} $ qui n'est dérivable que pour $N<0$ ou N non entier (discontinuité en chaque entier positif).
    Par contre, $N\mapsto (1-p)^N$ définie de $\mathbb R$ dans $\mathbb R$ ($N$ est maintenant un réel), est une simple fonction numérique, tout à fait dérivable pour $p\neq 1$, puisque $ (1-p)^N =\exp(N\ln(1-p))$.

    Cordialement.
  • ah oui voilà l'explication, merci !
  • Il n' y a pas d'erreurs sur l’expression
    Article Estimation of the Proportion of Vectors in a Natural Population of Insects123720
    aa.jpg 113.2K
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    Citation :  Je suis Jack 
  • Bonjour Gebrane,

    En effet, mon exercice s'inspire de cela. Le but est en fait de montrer que l'estimateur est non-biaisé, et on me demande en particulier de montrer que $E(\hat{p}) \neq p$ pour p=1/2.

    M^me avec la piste sur les polynômes de Bernstein je n'arrive pas à montrer cette non-égalité...

    Merci
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