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Riemann, Lebesgue et Kurzweil-Henstock

Soit la fonction $f$ définie sur $[0,1]$ par $f(x)
= \begin{cases}
n & x=1/n \\
0 & \text{ sinon} \\
\end{cases}$
$f$ est-elle intégrable au sens de R ? au sens de L ? au sens de HS KH ?
Une dédicace pour ev.
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Citation :  Je suis Jack 

Réponses

  • Une fonction Riemann intégrable est bornée, donc non. La fonction est presque partout nulle, donc elle est intégrale au sens de Lebesgue. Je ne sais pas ce que c’est HS.
  • Bonjour.

    HS : Hors Service, déféctueux
    KH : Kurzweil-Henstock.

    Cordialement.

    NB : Gebrane, pense à rajouter le "si" dans la définition de $f$.
  • Et $\forall x \in [0,1]$ :-P
  • Bonjour Gebrane, bonjour à tous.

    $f$ est KH-intégrable pour deux raisons, la première plus élémentaire que la seconde :
    1/ elle est nulle sauf sur un ensemble dénombrable.
    2/ elle est intégrable au sens de Lebesgue.

    Amicalement,

    e.v.
    À ta naissance, tu pleurais tout le temps et tout le monde souriait autour de toi. Fais en sorte qu'à ta mort, ce soit l'inverse. (Proverbe arabe)
  • Qui est $n$ ?
    C’est un entier fixe au départ ?

    Si c’est le cas, c’est une fonction en escalier. Quel est le problème ?

    Édit : je comprends que ce n’est pas le cas.
    Dis-moi, mon cher gebrane, tu nous as habitué à des énoncés plus propres, non ?
  • C'est un abus de mon correcteur automatique , bien sûr c' est KH au lieu de HS.
    Dom f (1/3)=3, f (2/3)=0, f ($\sqrt 2$ /2)=0 .....
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    Citation :  Je suis Jack 
  • La fonction $f$ est continue, sauf sur un ensemble de mesure nulle. Pour autant elle n'est pas Riemann intégrable.

    @AD et Gebrane.

    Avec moi le titre aurait été :
    "Riemann, Lebesgue and Sometimes Kurzweil-Henstock"

    Amicalement,
    e.v.
    À ta naissance, tu pleurais tout le temps et tout le monde souriait autour de toi. Fais en sorte qu'à ta mort, ce soit l'inverse. (Proverbe arabe)
  • Ok.
    C'était quand même quantifié n'importe comment, enfin... non quantifié...

    Dans ce cas elle n'est pas intégrable au sens de Riemann, en effet.
  • DOM
    C'est bien quantifié si on comprend le même français :

    f définie sur [0,1] par f(x) = blabla

    signifie pour le commun des mortels

    $\forall x\in $ [0,1] , f(x)= blabla
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    Citation :  Je suis Jack 
  • C'est sur n qu'il faut imaginer une quantification ("$\exists n \in \mathbb N,\ x=\frac 1 n$").

    Cordialement.
  • Mais oui voyons, on ne sait pas si c'est :

    1) Soit n, on pose f(x) = ...

    2) la fonction que tu as dans la tête.

    J'ai bien compris pour le $x$.

    Reconnais-le que c'est mal dit (sans problème de langue d'ailleurs) ;-)
  • Bon, pour ces deux questions matinales ma cible était ev, j'aime bien sa quette sur KH.
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    Citation :  Je suis Jack 
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