Dimension de Hausdorff — Les-maths.net

Dimension de Hausdorff

Bonsoir,
dans le pdf suivant à la page 12 http://farhi.bakir.free.fr/index_fichiers/Hausdorff.pdf
dans la preuve du théorème 9 l'auteur dit qu'il étudie le cas $A$ borné, que se passe-t-il si $A$ est non borné ?
Merci.

Réponses

  • Bonjour,
    Soit $A$ non borné de mesure de Lebesgue non nulle. Il existe $R>0$ tel que $A\cap B(0,R)$ [édit : est de mesure de Lebesgue non nulle] (à toi de chercher pourquoi). On applique la preuve dans le cas borné à $A\cap B(0,R)$ et on utilise que $\dim_{\cal H}(A\cap B(0,R)) \leqslant \dim_{\cal H}A\leqslant n$ (à toi de chercher pourquoi ces inégalités sont vraies).
  • tel que $A\cap B(0,r)$ quoi ?
  • Bonne question. A ton avis nora?
  • tel que $A\cap B(0,R)$ soit borné ?? mais ça c'est toujours vrai puisque les boules sont bornés !!
  • C’est en effet évident, et cela tombe bien, non?
    Mais on cherche à lui faire appliquer un théorème, tu te souviens? Et ce théorème demande quelque chose...
  • Mais non ibni ce n'est pas ça
  • Ah bon, et qu’est-ce que tu voudrais mettre gebrane?
    Je connaissais la propriété pour un ouvert non vide $O$ de $\R^n$. Et la démonstration est basée sur le même principe, un ouvert non vide contient une boule ouverte et sa dimension de Hausdorff est égale à $n$, on a donc que la dimension de Hausdorff de $O$ est $\geq n$, d’où le résultat (puisque par croissance de la mesure de Hausdorff, on a l’inégalité dans l’autre sens).
  • Nora, pour te remettre dans les rails, pourquoi il existe R>0 tel que $A\cap B(0,R)$ est de mesure de Lebesgue non nul
  • Ibni a écrit:

    Et ce théorème demande quelque chose...

    Puis
    gebrane a écrit:

    Mais non ce n’est pas ça

    Puis
    gebrane a écrit:
    Pourquoi (...) est de mesure de Lebesgue non nulle

    Esprit de contradiction...
  • Oups. C'était "tel que $A\cap B(0,R)$ est de mesure de Lebesgue non nulle".
  • Bonjour,

    en lisant la démonstration du lemme, je lis "les projections font diminuer le diamètre". Je ne pense pas que ça soit vrai tout le temps.
  • Amédé : En général, effectivement non. Le pdf dit ça à propos des projections sur les coordonnées de $\Bbb R^n$, qui font bien diminuer le diamètre car elles sont 1-lipschitziennes. L'auteur du pdf aurait dû parler de projections orthogonales.

    Au passage, Nora-math ne remercie pas les personnes qui lui ont répondu. Ce n'est pas bien. S'il y a des choses qui ne restent pas claires, il faut le dire.
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