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Dénombrement jeu de 32 cartes

Bonjour,
j'ai besoin d'expliquer une démonstration mathématique de dénombrement.
Je suis partie du jeu de bataille où seule la valeur de la carte à de l'importance et non pas la couleur.
Le jeu est donc constitué de 4N cartes, dans mon problème N=8 donc il y a 32 cartes.
Je cherche le nombre de distribution possible entre deux joueurs.
J'ai trouvé une démonstration qui traite de ce sujet mais je ne parviens pas à comprendre les dernières lignes.
Je mets la démonstration en pièce jointe.
Merci à vous, bonne soirée.122898

Réponses

  • Si tu as compris jusqu'à $\frac {(4N)!}{(4!)^N} $, tu as fait déjà un grand pas.

    Tu ne comprends pas les 2 dernières lignes, les 10 dernières lignes ?
    Quelle est la phrase qui pose problème ?

    Et , il faudrait commencer par le début en fait : Quelle est la règle du jeu... Qu'est-ce qui fait que 2 parties doivent-être comptées comme une seule.
    Il faut formuler cela de façon précise, mathématique...

    Ou autre façon d'aborder la question : si tu n'avais pas le corrigé sous les yeux, comment décomposerais-tu le raisonnement pour compter le nombre de parties possibles.
    Quelles seraient les étapes intermédiaires du calcul ?

    Parce que, il y a en fait 2 questions : on veut calculer quoi , quelles sont les étapes du calcul ? Et ces calculs sont-ils corrects ou pas ?
  • Merci de votre réponse.
    En fait c'est la dernière ligne que je ne comprend pas. La démarche n'est pas vraiment détaillée, il y a ce "donc" qui me pose problème.

    Le jeu qui est évoqué est le jeu de la bataille classique qui consiste à distribuer les cartes aux deux joueurs puis confronter les deux cartes du dessus. Celui avec la carte la plus forte remporte le pli.

    Pour revenir à ce que je cherche précisément c'est le nombre de parties possibles. Qui correspond donc au nombre de distribution possible tout en prenant en compte que si le joueur 1 a le jeu A et le joueur 2 a le jeu B donnera la même partie que si le joueur 1 a le jeu B et le joueur 2 a le jeu A.

    Ce texte n'est pas issu d'un corrigé d'exercice mais d'un article. L'extrait que j'ai mis est la partie qui détaille le dénombrement de partie possible.
  • En fait, je ne suis pas d'accord avec le corrigé !

    C'est toujours plus simple de considérer que toutes les cartes sont différentes. ... Et même , quand on a des boules dans des urnes, des boules blanches et des boules noires, c'est souvent utile de considérer qu'elles ont toutes un n° écrit en petit.
    Et à la fin du calcul... on fait les divisions nécessaires pour prendre en compte le fait que les 4 as sont équivalents, etc .

    On a $(4N)!=32!$ distributions possibles.

    Je donne les 2N=16 premières cartes au joueur A, et les 2N=16 dernières au joueur B.

    Il y a une configuration qui m'intéresse particulièrement, c'est quand la carte n°1 et la n°17 sont identiques, idem la 2 et la 18 sont identiques, ainsi de suite jusqu'à la 16 et la 32.
    Donc les jeux où les 2 joueurs ont exactement le même jeu.

    Comptons combien de distributions sont possibles avec ces contraintes, parmi les $(4N)!$ distributions possibles.

    Il y a 32 cartes possibles pour la 1ère carte. Puis 3 cartes possibles pour la 17ème.
    30 cartes possibles pour la 2ème carte ; puis 3 (ou 1) cartes possibles pour la 18ème
    28 cartes possibles pour la 2ème carte ; puis 3 (ou 1) cartes possibles pour la 19ème
    etc etc
    On arrive à $32*30*28*... *2 * (3^8)$ , c'est à dire $16! * 2^16 * 3^8$
    Ou, en généralisant : $(2N)! * 12^N$
    Ce n'est pas le résultat donné dans le corrigé.

    Je vais noter E (E comme Egalité) ce nombre de parties où les joueurs seront à égalité parfaite : $E = (2N)! * 12^N$
    Et on avait T, le nombre total de parties : $T=(4N)!$

    La différence T-E, c'est le nombre de parties qui ne sont pas à égalité parfaite.
    Ce Nombre T-E, on le divise par 2, parce qu'on considère que si on inverse les jeux de A et B, c'est pareil. ( et c'est pour ça qu'on a eu besoin de compter séparément les cas d'égalité parfaite)

    Résultat :
    $R_1 = (T-E)/2 $ : le nombre de parties, hors les cas d'égalité parfaite, divisé par 2 ...
    $R = R_1 + E $: parce qu'il faut réintégrer les parties à égalité parfaite, qu'on vient de supprimer.
    $R = (T+E)/2 $ après simplification

    Et dans TOUS ces calculs, on a toujours considérer que les 4 as étaient des cartes différentes, idem les 4 rois ... ...Il faut donc tout diviser par $(4!)^N$

    R = ... je te laisse finir.
  • Bonjour

    Il fleure, sur cet énoncé, une odeur nauséabonde de confusion entre l'identité des cartes et l'identité des hauteurs de cartes.
    Si on veut 4 dames, il y aura 1 seule possibilité. Si on veut 3 valets, il y a 4 possibilités, que cette énoncé semble vouloir réduire à 1 possibilité; comme si on tirait les 4 dames. Attention les fautes. Que compte-t-on ? Les tirages ? Ou les types de tirage ? J'aurais prévenu.

    Pour calculer les batailles identiques, au lieu de choisir 4 hauteurs parmi 32, puis 4 hauteurs parmi 28, puis .... 4 hauteurs parmi 4, soit $C^4_{32}C^4_{28}...C^4_{4}=\frac{32!}{(4!)^8}$ que l'on multipliera en affectant réellement les cartes par $4!^8$, on va choisir 2 hauteurs parmi 16, puis 2 hauteurs parmi 14, puis ... 2 hauteurs parmi 2, puisque l'autre moitié du jeu sera automatiquement défini. On multipliera de la même façon par les cartes réellement affectées $4!^8$, puisque cela ne change pas.

    Soit $C^2_{16}C^2_{14}..C^2_{2}(4!^8)=\frac{16!(4!^8)}{2!^8}$ tirages donnant des parties de bataille identiques.

    Qu'en pensez-vous ?
  • Bonjour,

    je suis d'accord avec le résultat du corrigé initial:

    Une partie de bataille est un mot $m$ écrit avec un alphabet de $N$ lettres (:= les hauteurs; ici $N=8$), chacune des $N$ lettres apparaissant $k$ (nombre pair; ici $k=4$) fois exactement dans ce mot:

    le premier joueur reçoit la première moitié du mot (:=$m_1$) le second la seconde (:=$m_2$).

    Le nombre de mots $m$ tels que $m_1=m_2$ est le nombre de mots $m_1$ qui contiennent chacune des $N$ lettres exactement $\frac {k}{2}$ (ici $\frac {k}{2}=2$) fois.

    Le nombre de mots $m$ écrits avec un alphabet de $N$ lettres, chacune des $N$ lettres apparaissant $k$ fois exactement dans ce mot est
    $\dfrac {(kN)!}{(k!)^N}$. Le nombre de ces $m$ tels que $m_1=m_2$ est $\dfrac {( \frac {k}{2} N)!}{ (\frac {k}{2} !)^N}$.

    Si on déclare que $m_1m_2=m_2m_1$ on obtient le résultat annoncé.

    Cordialement
    Paul
  • Il est extrêmement douteux de faire un isomorphisme entre les cartes et les lettres. Car, si "e" et "e" sont identiques, le valet de pique et le valet de carreau ne sont pas identiques, quoique de même hauteur.

    L'identité est quelque chose d'important en dénombrement. Et là, elle est bafouée.
  • Bonjour à tous,

    @PLM :je revendique ma position tout en comprenant ta remarque (:P) :

    Si je considère ta position, le problème initial est trivial: il y a $(kN)!$ distributions possibles si l'on distingue les deux joueurs, la moitié si on ne les distingue pas. Inutile, en ce cas, de se préoccuper des batailles "identiques".

    Si tu poses alors, de plus, la question (dont la réponse ne sert à rien (si l'on se place de ton point de vue) pour résoudre le problème tel que posé initialement ) de savoir combien il y a de batailles "identiques", je répondrais:

    $\dfrac {( \frac {k}{2} N)!}{ (\frac {k}{2} !)^N}\ \ \times (k!)^N$ si l'on distingue les deux joueurs, la moitié sinon.

    Dans le cas $(k,N)=(4,8)$, ça donne $\dfrac {( 2 N)!}{ (2!)^N}\ \ \times (4!)^N$ = $\dfrac {16!}{ 2^8}\ \ \times (4!)^8$ si l'on distingue les deux joueurs, la moitié sinon.

    Bigre, nous sommes d'accord!

    Cordialement
    Paul
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