Une maladresse très subtile — Les-maths.net

Une maladresse très subtile

Bonsoir.
Voici un extrait d'un cours de 5e sur les fractions

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Bon, mis à part le fait qu'on ne parle pas de numérateur et de dénominateur quand on n'a pas d'écriture fractionnaire, il y a une petite maladresse assez subtile qu'ont commis les auteurs et qu'on voit d'ailleurs dans tous les manuels scolaires traitant du même sujet.
Je reste volontairement vague, peut-être que pour une personne cela va sauter aux yeux.

Réponses

  • Bonjour,

    Tu as peur que les élèves comprennent : $\frac{a}{b} = \frac{a \times k}{b \div k}$ ou $\frac{a}{b} = \frac{a \div k}{b \times k}$, c'est ça ?
  • Bonsoir Marsup.

    Non, ce n'est pas sur l'écriture qui est plutôt claire je trouve.
  • J-Maths a écrit:
    Bon, mis à part le fait qu'on ne parle pas de numérateur et de dénominateur quand on n'a pas d'écriture fractionnaire

    Ah bon? On n'a pas le droit d'écrire $\dfrac{1,2}{2,3}$? $1,2$ est le numérateur de cette fraction et $2,3$ son dénominateur.
  • Je ne comprends pas.

    Peut-être peux-tu dire ce que tu as à dire ?
  • L'<<erreur subtile>> est qu'on ne suppose pas que $k$ divise $a$ et $b$?
  • @Fin de partie : je me suis peut-être mal expliqué. Ce que tu dis est vrai dans le cas d'une écriture fractionnaire.

    Bon je vais vous faire part de ma réflexion.
    Les auteurs supposent que b et k sont non nuls, certainement pour assurer que le produit bk ne soit pas nul. Autrement dit, implicitement il admettent que si b x k = 0, alors b = 0 ou k = 0. Or ça c'est une propriété de 3e.
    La vraie hypothèse à appliquer et que le produit bk ne soit pas nul, ce qui permet d'assurer que b et k ne soient pas nuls.
    Ce qui est normal car les élèves savent des la 6e que si b ou k est nul, alors b x k est nul (du coup la contraposée peut être utilisée).

    Mais aller dire cela à des élèves...
  • J-Maths:

    La propriété dont tu parles est: $a.b=0$ implique $a=0$ OU $b=0$.

    Mais ici c'est $a$ ET $b$ non nuls implique $ab$ non nul.
  • Oui Fdp, on est bien d'accord que ce sont des assertions équivalentes ?
  • Bah non, c'est la réciproque. C'est la contraposée.
  • J-Maths: Certes, mais pédagogiquement l'une est sans doute évidente pour beaucoup d'élèves l'autre non.
  • Oui marsup, c'est pour cela que je dis que l'hypothèse anticipe le programme de 3e.
    Après ce n'est pas grave comme si hyper intuitif chez l'élève.
  • Finalement, il aurait fallu dire quoi ?

    Je ne comprends jamais rien à ces trucs de pédagogie !
  • Fin de partie :

    écriture fractionnaire : on utilise un trait de fraction, un numérateur, un dénominateur non nul

    (écriture en) fraction : écriture fractionnaire avec numérateur et dénominateur entier
    Remarque :
    Ce n'est pas une fraction que tu proposes, c'est la seule raison de mon message.
    Cela dit, le texte ne fait pas mention de ce terme "fraction" (sauf dans le titre) mais plutôt de "quotient", en oubliant de préciser "en écriture fractionnaire" pour pouvoir parler de numérateur et de dénominateur.

    (écriture en) fraction décimale : (écriture en) fraction dont le dénominateur est une puissance décimale

    quotient : désigne le nombre issu d'une division, on dit parfois "résultat" de la division.
    Il existe des détracteurs féroces.
    C'est dans le langage, en français que l'on utilise ce termes : "le quotient de 2 par 3" qu'il faut savoir traduire en "le nombre $2\div 3$.

    Dans ce cadre on pourrait parler d'écriture en quotient qui serait plutôt : $a\div b$ à distinguer de l'écriture fractionnaire $\frac{a}{b}$.

    Rappel : $2\times 3$ est bien la somme de $1$ et $5$ ou encore la différence de $20$ et $14$, ou enfin le quotient de $7,2$ par $1,2$.

    Enfin : j'ai mis des parenthèses "(écriture en)" car la majorité des gens que je croise les sous-entendent et parfois ne le savent même pas. Bien entendu, il existe une autre acception du terme "fraction" que j'ai utilisé ici. En effet, cela peut désigner parfois le quotient lui-même (le nombre, donc) et est synonyme de "proportions" (mais avec des entiers).
  • Oui Fdp. Je voulais partager cette petite réflexion que je trouve intéressante. X:-(
  • Marsup:

    Une formulation sans défaut, cela n'existe sans doute pas si tu veux une formulation qui ne soit pas à rallonge.

    Avec la remarque de J-Maths on devrait rajouter quelque part que $b.k,b/k$ sont non nuls.
  • Excellent Dom !

    Je n'avais pas fait attention que Fdp disait que 1,2/2,3 était une fraction. Là je ne suis pas d'accord.
  • Ok, J-Maths, en gros l'élève pourrait dire : "Mais dites donc, on a choisi $b$ non nul et $k$ non nul, mais qu'est-ce qui vous permet d'être sûr que $bk$ est bien non nul ?".


    Avocat du diable : avec les programmes par cycle, il n'est plus pertinent de dire "ce n'est pas au programme de 5e" :-D
  • Bonsoir.

    Juste une remarque en passant :

    Si b doit être non nul, c'est parce qu'entre autres c'est le dénominateur de la fraction.
    Si k doit être non nul, c'est parce qu'entre autres il intervient comme dénominateur dans une division pour les deux cas de figure évoqués.

    Il n'y a pas d'erreur de ce point de vue, par contre la nature des nombres n'est pas explicitée, là est le flou.

    A bientôt.

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    Intégraphes, règles log et calculateurs électromécaniques.

  • La lecture axiomatique des programmes de maths au collège ! Comment dire...

    Ce n'est pas bien passionnant, ni très productif, à mon avis.

    Le problème, pour moi, n'est pas vraiment celui-là.

    Le problème, c'est qu'une bonne partie des bacheliers ne comprennent pas la différence entre un + et un $\times$.

    Ou bien qu'ils calculent $\Delta$ pour résoudre $x^2 = x$ ou encore $x^2 = 0$ ou $x^2 = 1$.

    Le détail de la progression ; s'ils apprennent telle propriété qui crève les yeux à 11 ou à 13 ans...
  • Je préfère qu'un élève utilise le discriminant pour l'équation d'inconnue x : x² = x et qu'il aboutisse, plutôt que de rien faire et rendre copie blanche :-D
  • La maladresse elle ne me saute pas aux yeux et j’ai même envie de dire que je m’en balance royalement! La propriété énoncée ici est très claire pour les élèves et c’est le principal!X:-(
  • J-Maths
    Tu préfères qu’un élève utilise le discriminant pour résoudre x^2=x plutôt que rendre copie blanche? Et bien on ne va pas être copains!:-X
  • @biely : à compter de ce message, j'ignorerai toutes vos interventions et faîtes-en autant pour moi.

    Bonne nuit.
  • Hum... depuis quelques années, elle n'est pas claire pour tout le monde.
    1) la phrase contient des mots sur lesquels chaque élève (moyen) fronce les sourcils
    2) l'élève qui n'a jamais vu de lettres en mathématiques s'exclamera "j'comprends rien !"

    Je garderais pour l'encadré tout de même l'essentiel : (c'est-à-dire la chose vraie et la chose que l'on va utiliser en long et large et en travers et à laquelle le prof devrait, selon moi, se référer sans cesse pour les exercices).

    début
    Quels que soient le nombre $a$ et les nombres non nuls $b$ et $k$ :

    $$\displaystyle \dfrac{a}{b} = \frac{a\times k}{b\times k} $$
    fin----


    Peut-être une remarque : cela signifie que "....dénominateur...même nombre non nul".
    Peut-être aussi l'écriture avec la division par $k$... bof.
    Et dans un manuel j'écrirais peut-être un truc du genre : parfois on utilise l'égalité dans l'autre sens... par exemple pour simplifier...
  • C'est un désaccord de fond.
    Tout va dépendre, peut-être, de la consigne.
    Si c'est "ouvert", toutes les méthodes sont bonnes.
    Si c'est "moins ouvert", il y a débat.

    Bien entendu, une remarque sur la copie est la bienvenue : "n'y avait-il pas plus simple ?"
  • Je suis tout à fait d'accord avec biely, évidemment.

    Je pense que ça ne change absolument rien pour les collégiens, peut-être que ça change tout pour les candidats au Capes ? Si tu te mets à leur expliquer des points d'axiomatique, les collégiens vont juste se dire que le prof raconte n'importe quoi ou bien que c'est trop dur pour eux (genre "je suis nul(le)"),

    Mais, toi, J-Maths, tu as des étudiants qui sont candidats au Capes, en classe, c'est ça ?

    Et ton expérience à toi, c'est quoi ?

    (Parce que moi, je le dis sans honte, enseigner au collège, je ne sais pas faire !)

    Ce que je dis, sur les rituels et sur l'éternel retour, c'est ce que je comprends de collègues !
  • Une écriture comme $\frac{6}{15}=\frac{6:3}{15:3}=\frac{2}{5}$ est rassurante pour les élèves, beaucoup l'utilisent. Personnellement, je les laisse l'écrire, sans faire de remarque, mais moi je ne l'écrit pas au tableau. J'écris $\frac{6}{15}=\frac{2 \times 3}{5 \times 3}=\frac{2}{5}$. Petit à petit, ils prennent confiance et finissent par écrire comme moi. Parfois je leur dit que la division n'est pas une "vraie" opération (car elle n'est pas commutative). J'insiste beaucoup dans la résolution des équations pour dire on multiplie par l'inverse de "truc" plutôt que on divise par "truc".
  • Ha oui, oui.
    On peut laisser écrire puisque c’est juste.


    Dans ces exercices, dans tous les cas, le plus difficile c’est de trouver ce « 3 ».
    Jean-Louis, au fond, dit à chaque fois « mais ça sort d’où ce 3 ? A chaque fois je comprends la correction mais je ne sais pas faire le suivant ! ».
  • XAX: c'est un phénomène courant en terminale de voir des élèves calculer le discriminant pour des équations comme $x^2-x=0$.
    Si un élève calcule le discriminant pour une telle équation* et trouve les bons résultats tu vas lui dire que son résultat est faux, que tu le sanctionnes parce qu'il n'a pas utilisé la méthode que tu souhaiterais qu'il utilise?
    C'est le sens que je donne à: http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?18,2252848,2252904#msg-2252904

    *: ne va pas en déduire que les enseignants l'encouragent. On ne peut pas sanctionner un élève qui donne une réponse correcte avec une méthode correcte sous prétexte que la méthode n'a pas la préférence des enseignants.
  • Bonjour,
    comme le dit Dom, tout dépend de la consigne :
    "résoudre sans utiliser le discriminant", "résoudre de la façon la plus simple possible", "résoudre", ne sont pas les mêmes consignes.
    Dans le troisième cas, on ne peut pas pénaliser l'élève, mais il se pénalise lui-même en perdant du temps.
    Cordialement
  • Déjà on parlait de l’équation $x^2=x$ et si l’élève a le réflexe de mettre sous la forme $x^2-x=0$ je lui dis déjà bravo. Pour utiliser le discriminant il faut ensuite que l’élève soit capable de repérer les a,b et c, ce qui n’est pas toujours évident dans les cas simples comme celui-ci (et encore, c’est moins piégeux sur ce point pour l’élève qu’un $x^2-4=0$ ou $x^2+4=0$ où bien souvent on a droit à des a=1,b=-4 pour la première et b=4 pour la deuxième et enfin c=0 où 1...). Ici il va prendre a=1, b=-1 et c=???? Là gros doute:-D mince il n’y a rien! C’est 0 ou c’est 1? Certains prendront c=1....(car on ne martèle pas assez que 0 est l’élément neutre de l’addition et 1 celui de la multiplication). Pour le côté ’’maths’’ (il faut le dire vite!) cela s’arrête ici en général.
    Pour la suite il ne faut pas rêver, l’élève sort sa TI ou Casio, rentre directement les 3 coefficients et le tour est joué pour le ’’calcul’’ du discriminant et pour trouver les deux solutions.
  • Ce forum en général et ce fil en particulier sont quand même assez révélateurs de la situation des maths en France : d'un côté l'effondrement des enseignements primaires et secondaires (élèves et beaucoup de néos enseignants PE et certifiés) et de l'autre un très haut niveau pour les mathématiques professionnelles.

    Il n'y a pas de paradoxe puisque simplement l'instruction des mathématiciens ne se fait plus via l'école standard.

    L'équation en question ne devrait pas poser de problème à un élève moyen de 3e ou de 2nde via une factorisation évidente.
  • Je vois depuis plusieurs années de plus en plus de de profs qui encouragent justement à utiliser le discriminant systématiquement dans tous les cas (même les plus simples) sans passer par les ’’difficiles’’ factorisations par x ou par une identité remarquable (quand cela est possible). Pour les élèves qui savent parfaitement factoriser mais qui veulent absolument utiliser le discriminant car leur prof leur a dit de faire comme ça je lance souvent un chiche! Utilise le discriminant avec $x^2-4=0$! La sortie de route b=-4 est fréquente...vengeance:-D
  • Je perçois une autre subtilité dans l'énoncé proposé au départ, mais elle sera de toute façon ignorée par la totalité des élèves.
    A la dernière ligne , la propriété dit : "On écrit : ..." Or ce n'est pas un jeu d'écriture mais bel et bien une égalité mathématique, au sens où ces deux écritures désignent le même objet.
    A mon sens, il faudrait insister sur le fait que les 3 fractions (ou écritures fractionnaires, peu m'importe) sont égales, autrement dit qu'elles désignent le même nombre.

    Je sais bien que c'est une subtilité uniquement percevable par les enseignants, mais quand on voit que bon nombre de lycéens ne perçoivent pas la différence entre "résoudre" et "calculer", insister un peu sur le sens des mots dans un manuel ne me parait pas absurde.
  • J'allais écrire exactement la même chose que bisam !
  • XAX a écrit:
    Il n'y a pas de paradoxe puisque simplement l'instruction des mathématiciens ne se fait plus via l'école standard.

    Est-ce que fréquenter le lycée Louis Le Grand est l'école standard?

    Biely: Face à une équation comme $x^2=x$ un certain nombre d'élèves vont surtout diviser à gauche et à droite par $x$. B-)-
    Ce chapitre de cours est révélateur de ce que beaucoup d'élèves ne voient rien, qu'ils ne maîtrisent pas la "grammaire" des expressions algébriques au point de ne pas être capables d'identifier les coefficients d'une équation polynomiale d'un polynôme du second degré.
  • Bisam:

    Je ne suis pas sûr qu'écrire $\dfrac{a\times k}{b\times k}=\dfrac{a : k}{b: k}$ soit une très bonne idée.
  • ’’On s’écrie: $\frac{a}{b}$=$\frac{a×k}{b×k}$ et $\frac{a}{b}$=$\frac{a÷k}{b÷k}$!’’ ce serait mieux non?(:P)
    Fin de partie
    Oui tu as raison, j’avais oublié cette possibilité pour l’équation...On enlève ’’x’’...:-D
  • Au collège rien n'est vraiment défini (ne serait-ce qu'en termes de règles), mais il est implicite que les nombres vivent dans un anneau intègre. La construction de fractions dans le cadre non intègre (localisation d'anneaux) fait appel à des axiomes différents et ne concerne vraiment que les mathématiques à partir du M1 on va dire.

    Voir aussi:
    http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?16,1681272,2253102#msg-2253102
  • biely : pour que l'élève utilise sa calculatrice, il faut encore qu'il reconnaisse les valeurs des coefficients..

    C'est assez classique que des élèves de 1ère-term veulent utiliser le discriminant à toutes les sauces. C'est une recette assez facile et qui fonctionne plutôt bien. Alors, oui, ça peut être une perte de temps. Et ça peut même être faux (comme si ça ne pouvait pas l'être d'une autre manière).
    En début de 1ère, ils sont capables de trouver l'extremum d'une fonction polynôme du second degré en une étape. En fin de 1ère (et surtout en terminale), ils passeront quasi systématiquement par un calcul de dérivée, tableau de variations etc. Et alors ?

    Le tout, c'est de rappeler qu'il y a des méthodes plus simples. Personnellement, ça m'arrive même de me rendre compte qu'un élève a utilisé un raisonnement plus simple ou rapide que celui ou ceux auxquels j'ai pensé. Il suffit de voir dans plusieurs discussions que les intervenants proposent souvent différentes méthodes. Ben, tant mieux...

    Vous utilisez toujours la méthode la plus rapide ? Bravo, je m'incline.
  • Je vois depuis plusieurs années de plus en plus de de profs qui encouragent justement à utiliser le discriminant

    Tu es inspecteur pour en voir autant ?
  • D'accord avec Kioups.
    Kioups a écrit:
    Personnellement, ça m'arrive même de me rendre compte qu'un élève a utilisé un raisonnement plus simple ou rapide que celui ou ceux auxquels j'ai pensé

    Si c'était quelqu'un d'autre ici de plus controversé qui faisait un tel aveu il se prendrait plein de railleries parce que bien évidemment un prof' de mathématiques qui se respecte est omniscient et qu'il a toujours la réponse la plus simple dans sa musette. B-)-
  • Bon,
    1) allez voir dans d’autres pays comment font les élèves pour résoudre $x^2=x$.
    2) non, je n’ai jamais observé qu’on encourage à utiliser le discriminant dans ce genre de cas sauf éventuellement pour voir que la formule fonctionne (évidemment) encore
    3) xax, c’est pavlovien et je ne donne pas de leçons car j’ai aussi mes marottes. Mais dès que tu te lances dans « l’enseignement en France », j’observe tôt ou tard la fermeture des fils.


    bisam,
    Oui. Mais des profs que je connais et d’autres sur ce forum même ne veulent pas dire aux élèves certaines choses.
    Notamment que $2\times 3$ ne désigne qu’une seul nombre et que c’est l’entier $six$.
    Par contre sur le vocabulaire, j’oserais dire que c’est bien un « jeu d’écritures » dans le sens où l’on écrit autrement la même chose, ici le même nombre.
  • ici 3 messages de Christophe C sur ce fil:
    Christophe C
    Cordialement
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Success message!
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