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Coefficients d'un terme dans un développement

Bonsoir,

je chercher à calculer le coefficient de $x^{1509}$ dans $(1+x)(1+x^2)\dots(1+x^{100})$.

Je crois qu'il existe une suite OEIS qui répond à mon problème mais ce qui m'intéresse c'est de trouver un programme "réaliste" pour effectuer ce calcul.

Pour les curieux, voici le problème de départ: calculer à l'aide d'un ordinateur le nombre de façon de calculer 2022 sous la forme 2022 = +/-1+/-2...+/-100

Alors je crois que ce problème mériterait probablement d'être mis dans un autre forum mais il m'apparaît, à la base, comme relevant de la combinatoire.

Merci de vos éventuels éclaircissements,

Amicalement,
F.D.

Réponses

  • F(1509,100)=F(1409,99)+F(1509,99)
    Plus généralement, si n>0 : F(x,n)=F(x-n,n-1)+F(x,n-1)
    et si n=0...

    Puisqu'on parle de programme, ça me paraît une bonne piste.
  • Tu peux calculer itérativement un DL à l'ordre 1510 de $P_n:=(1+x)\ldots(1+x^n)$. Pour passer de l'ordre $n-1$ à l'ordre $n$, il suffit de calculer $P_{n} = P_{n-1} + x^nP_{n-1}$. En python :
    Pn=[0]*1510		# Liste des coefficients de P_n de degrés < 1510
    Pn[0]=1		# P_0(X)=1
    for n in range(1,101):
    	PnNew=[0]*1510
    	for k in range(n):
    		PnNew[k]=Pn[k]
    	for k in range(n,1510):
    		PnNew[k]=Pn[k]+Pn[k-n]
    	Pn=PnNew[:]
    
    print(Pn[1509])
    

    Résultat : 3429176948342242977995928
  • Rien à voir avec l'algorithme, mais es-tu sûr que c'est bien le coefficient en $x^{1509}$ qui t'intéresse. Pour écrire 2022, ce serait plutôt le coefficient de degré $\dfrac{1}{2}\Big(2022+\displaystyle \sum_{k=1}^{100} k\Big) = 3536$, qu'il faudrait regarder, non ?
  • Merci pour toutes vos réponses !

    Je vais explorer ton programme, Guego.
    Alors, pour le coeff. il s'agit à priori de celui de $\frac{1}{2}\big(\sum_{k=0}^{100} k -2022\big)$ qui semblait être le bon. (Allez en toute honnêteté ce n'est pas mon idée, c'est un "effort collectif" dont je suis essentiellement le scribe.)

    Je pense que la relation de récurrence doit mener à un résultat que je comparerais à la suite référencée par Math Coss
    En tout cas, merci beaucoup,
    F.D.
  • Re-bonjour,
    alors j'arrive à $3018 = \sum_{i=1}^{100}(1+(-1)^{1+t_i})i$ et on veut compter le nombre de suites $t_i$.

    Mais, sincèrement, si quelqu'un peut expliquer le $\frac{1}{2}$ qui apparaît partout, je ne comprends pas... Oui, la décrépitude intellectuelle est peut-être un signe de vieillesse mais plus ça va, plus je constate que je ne comprends rien aux maths.

    Amicalement,
    F.D.
  • Dans le premier message, j'ai vu un 1er énoncé avec 1509, et un autre énoncé avec 2022.
    Je n'ai pas du tout trouvé le lien entre ces 2 énoncés.

    Il me semble, mais j'ai pu me tromper que si on doit partir du problème 2022, et qu'on veut le reformuler, on arrive au problème :
    Trouver le coefficient de $x^{1514}$ dans $(1+x)(1+x^2)...(1+x^{100})$
  • FrançoisD a écrit:
    Mais, sincèrement, si quelqu'un peut expliquer le 1/2 qui apparaît partout, je ne comprends pas...
    Le nombre qui nous intéresse est le coefficient en $t^{2022}$ de $(t^{-1}+t^1)(t^{-2}+t^2)\ldots(t^{-100}+t^{100})$. En multipliant par $t^1t^2\cdots t^{100}$, ça revient à chercher le coefficient en $t^{7072}$ de $(1+t^2)(1+t^4)\ldots(1+t^{200})$, ou encore, en posant $x=t^2$ : le coefficient en $x^{3536}$ de $(1+x)(1+x^2)\ldots(1+x^{100})$.

    Le $\dfrac{1}{2}$ vient du changement de variable final $x=t^2$, qui divise les degrés par $2$.

    On aurait aussi pu tout diviser par $t^1t^2\cdots t^{100}$, et faire le changement de variable $x=t^{-2}$. Dans ce cas, ça revient à chercher le coefficient en $x^{1514}$ de $(1+x)(1+x^2)\ldots(1+x^{100})$.
  • Merci, ce n'était donc pas 1509!

    (3536 = 1768 * 2 non?)

    Merci encore, je vais essayer de comprendre tout ceci avant Azheimer!

    Amicalement,

    F.D.
  • Bonsoir,

    alors je sais mon Alzheimer est de plus en plus présent MAIS le programme de Guego me renvoie un nombre non-nul pour le nombre de façons de trouver 5049 avec ces sommes signées alors que la réponse devrait être 0...

    Bon, il va me falloir y passer un peu plus de temps!

    Amicalement,

    F.D.
  • Si tu cherches le nombre de manières d'obtenir $5049$, il faut regarder le terme de degré $\displaystyle\dfrac{1}{2}\Big(5049 + \sum_{k=1}^{100} k \Big)$ dans le produit (pour $2022$, on ne regarde pas le terme en $x^{2022}$, mais le terme en $x^{3536}$). Or, $\displaystyle\dfrac{1}{2}\Big(5049 + \sum_{k=1}^{100} k \Big)$ n'est même pas entier, donc la question ne se pose pas.
  • Oui j'ai écrit ce message troooooop vite.

    En fait, j'assayais de calculer à l'avance le terme à recherche donc le degré 3536 par exemple. Sauf que, pour l'utiliser dans un programme python, j'ai fait des divisions euclidiennes DONC qui fonctionnent aussi avec un nombre impair...

    Lorsque j'ai essayé de mettre un contrôle au départ... le programme n'a plus renvoyé QUE des 0.

    Bref il y a encore une subtilité qui m'échappe (j'oserai dire comme d'hab) sur la partie Python.

    Merci en tout cas, Guego, de toutes tes explications. J'ai (re?)découvert des maths passionnantes. Il me semble qu'une autre solution a été proposée sur le forum de l'APMEP Toulouse d'où vient le problème mais elle me semble moins efficace!

    Très amicalement,

    F.D.
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