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Loi de 2 variables définies à partir de 3ème

Bonjour

$Z$ suit une loi uniforme sur $]0;2\pi[$. On définit les variable aléatoires $X=\cos(Z)$ et $Y=\sin(Z)$

1) Déterminer les lois de $X$ et de $Y$.

Sur $]0;2\pi[$, $\cos$ et $\sin$ ne font pas de bijection. Est-ce qu'il faut que je fasse du cas par cas ?

2) Le couple $(X;Y)$ admet-il une densité sur $ \mathbb{R}^2$ ?

Je pense qu'il faut déjà la réponse à la question 1) mais je ne vois pas comment faire.

Réponses

  • Il s'agit de prendre $-1 \leq a < b \leq 1$ et de calculer $\mathbb P(X \in [a, b])$ et $\mathbb P(Y \in [a, b])$, donc du calcul d'intégrale !
  • OK,

    en prenant $-1 \leq a < b \leq 1$, après intégration, je trouve

    $\mathbb P(X \in [a, b])= \frac {1}{\pi} (\arccos(a)- \arccos(b))$

    et
    $\mathbb P(Y \in [a, b])= \frac {1}{\pi} (\arcsin(b)- \arcsin(a))$

    comment voir si le couple $(X;Y)$ admet une densité sur $ \mathbb{R}^2$ ?
  • Bonsoir,

    La probabilité que le couple $(X,Y)$ tombe sur le cercle est de 100%.

    Comme le cercle est de mesure nulle, il n'y a pas de densité pour le couple.
  • @marsup

    De quelle règle propriété est-ce tiré?

    merci
  • Si une variable (ici un couple) est à densité, elle ne charge pas d'ensemble de mesure nulle.

    Cela signifie que la probabilité qu'un couple à densité tombe dans un ensemble de mesure nulle donne toujours 0.
  • En clair, il faut que je montre que si $f_{(X,Y)}$ existe alors $\iint f_{(X,Y)} dxdy=0$, donc impossible car cela doit être égal à $1$ ?
  • S'il y a une densité du couple alors la probabilité que le couple appartienne au cercle est égale à l'intégrale de cette densité sur le cercle. Or une telle intégrale est égale à 0. Mes compétences sur l'intégrale de Lebesgue sont lointaines et je ne sais plus comment justifier proprement ce dernier point.
  • C'est un fait général que l'on peut justifier en disant que le cercle est une sous-variété de dimension $1$ dans un espace de dimension $2$.

    Sinon on dit que le cercle est l'intersection des anneaux $\{(x,y) \in \mathbb R^2 \mid 1-\varepsilon \leq x^2+y^2 \leq 1+\varepsilon\}$ pour lesquelles on sait calculer facilement la mesure de Lebesgue.
  • Oui, mais je ne vois plus comment on justifie proprement que $\mu(A) = 0$ $\implies$ $\int_A f d\mu = 0$. C'est de ce point dont je parlais.
  • Ah oui $f \chi_A = 0$ presque partout.
  • Oui, tout simplement.
  • N'y aurait-il pas une méthode plus calculatoire ?

    Par exemple :

    $\int_{cercle} f_{X,Y}=F(2 \pi)- F(0)=0$
  • Que serait $F$ ?
  • Attention, math65,

    il ne s'agit pas d'une intégrale curviligne, mais d'une intégrale double :
    $\iint_{cercle} f_{X,Y}= ?$

    Cordialement.
  • Ne pourrait on pas simplement dire que

    $\iint_{cercle} f_{X,Y}= 0$ car les bornes de chaque intégrale sont les mêmes?
  • Pourquoi ces délires ? :-)
    Une intégrale sur une partie de mesure nulle est nulle (j'ai rappelé pourquoi), on ne peut pas faire plus simple.
  • Quelles bornes ? Quelles intégrales ?

    Tu continues à vouloir calculer autre chose que l'intégrale double. Que tu peux calculer par la méthode habituelle, intégrale d'une intégrale. Mais ça donne 0 dans n'importe quel cas (c'est ce que justifient directement Saturne et Poirot), le calcul étant de la forme :

    $\iint_{cercle} f_{X,Y}= \int_{[-1,1]} \left( \int_{A} g(x,y) \ dx\right)\ dy$
    Où A est l'ensemble des valeurs de X pour Y fixé. Et A est ....

    Cordialement
  • Et peut-être pour te convaincre que l'intégrale d'une fonction continue sur un courbe fermée ne fait pas forcément zéro : $$\int_{\mathcal C} \frac{\mathrm{d}z}{z} = 2i\pi,$$ où $\mathcal C$ est le cercle unité.
  • J'ai peur que ta remarque soit un peu confusante, Poirot.

    Je pense que math65 parle plutôt de l'intégrale curviligne d'une fonction selon le lacet, et pas vraiment de l'intégrale d'une 1-forme différentielle.

    Comme quand on définit la longueur d'un arc $L(C) = \int |\dot\gamma(t)| dt$ pour toute paramétrisation $\gamma$ de $C$.
  • Je ne pense pas les intégrales complexes en terme de $1$-formes mais bien en terme d'intégrales curvilignes...
  • @gerard0

    $A$ est un ensemble ne contenant qu'une unique valeur?
  • L'intégrale curviligne de la fonction complexe $z\mapsto \frac{1}{z}$ sur le cercle unité vaut 0.

    L'intégrale de la forme différentielle $z\mapsto \frac{dz}{z}$ sur le cercle unité vaut $2i\pi$.
  • Non, $Y = \pm\sqrt{1-X^2}$, ça fait deux valeurs, la plupart du temps.
  • $\iint_{cercle} f_{X,Y}= \int_{[-1,1]} \left( \int_{A} g(x,y) \ dx\right)\ dy$

    avec $A$ qui contient deux valeurs (merci Marsup). Mais $A$ est un ensemble de valeurs discrètes. c'est ce qui explique que $\int_{A} g(x,y) dx=0$?
  • Oui,

    et c'est ce qui se généralise avec l'intégrale de Lebesgue en "l'intégrale sur une partie de mesure nulle est nulle".
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