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Idéal $[4,1+\sqrt{-m}]$ dans un ordre

Bonsoir
j'ai $m=-2\bmod8$ et on travaille dans $\Bbb{Q}[\sqrt{-m}]$.
On considère les ordres ${\cal O}'=[1,4\sqrt{-m}]\subset[1,\sqrt{-m}]={\cal O}$.
L'idéal $[4,1+\sqrt{-m}]$ est un idéal fractionnaire propre de ${\cal O}'$ qui s'écrit $4[1,\frac{1+\sqrt{-m}}4]$ ce dernier étant propre dans $\cal O'$.
Jusque là ça va !

Maintenant je lis un texte où l'on m'affirme que cet idéal est dans le noyau de l'application naturelle entre les groupes de classes d'idéaux propres modulo les principaux $C({\cal O}')\rightarrow C({\cal O})$ et là je ne comprends plus !

D'abord je ne vois pas cette application "naturelle" car par définition les éléments d'une classe de $C({\cal O}')$ sont des idéaux propres de $C({\cal O}')$ à constante près or un tel idéal n'est justement pas propre pour $C({\cal O})$ et n'a donc pas de classe dans $C({\cal O})$ puisque par définition seul la multiplication par des éléments de $C({\cal O}')$ reste dans l'idéal.

Mais même en admettant que $[4,1+\sqrt{-m}]$ (qui est quand même un idéal de $C({\cal O})$) puisse être transformé en un idéal propre de $C({\cal O})$, je ne vois pas comment il pourrait être une classe triviale c'est-à-dire devenir principal dans $C({\cal O})$.

Quelqu'un peut-il m'expliquer ?

Réponses

  • Pour ta première interrogation, on associe à l'idéal $I$ de $\mathcal O'$ l'idéal $I\mathcal O$ engendré par $I$ dans $\mathcal O$. Si $I$ est principal, il est évident que son image l'est, d'où une application naturelle de $C(\mathcal O')$ dans $C(\mathcal O)$.

    Pour ta deuxième interrogation, je n'ai pas trouvé, mais voilà une idée d'approche. Tout d'abord, ton idéal fractionnaire est $I=\frac{1}{4} [16,4+4\sqrt{-m}]$ où $[16, 4+4\sqrt{-m}]$ est un idéal de $\mathcal O'$. Comme on veut montrer que $I \mathcal O_K$ est principal, on peut oublier le dénominateur $4$. Il s'agirait alors de trouver un élément de $4I\mathcal O_K$ qui admet $d$ et $d+d\sqrt{-m}$ comme $\mathcal O$-multiples ou $d$ est un élément non nul de $\mathcal O$.
  • Grand Merci
    Est-ce que je dis une bêtise ?
    \begin{align*}
    I{\cal O}_K&=[4,4\sqrt{-m},1+\sqrt{-m},\sqrt{-m}-m]=[4,4\sqrt{-m},1+\sqrt{-m},\sqrt{-m}+2] \\
    &=[4,4\sqrt{-m},1+\sqrt{-m},1]=[1,1+\sqrt{-m},4\sqrt{-m}] \\
    &=[1,\sqrt{-m},4\sqrt{-m}]=[1,\sqrt{-m}]={\cal O}_K.
    \end{align*}
  • Ça m'a l'air de tenir la route. Juste pour être sûr, tes crochets désignent les $\mathbb Z$-modules engendrés ?
  • oui, oui, bien sûr.
    En fait c'est un calcul laissé en exo au lecteur qui sert à calculer $j(\sqrt{-14})$ ($j=$ invariant modulaire)
    Comme ça, ça fera un exercice pour tes étudiants !

    Et du coup avec cette même application j'ai que $[8,\sqrt{-m}]$ qui est fractionnaire dans $\cal O'$ a une image d'ordre 2 dans $C({\cal O})$ puisque

    $I\mathcal{O}=[8,\sqrt{-m},8\sqrt{-m},-m]=[8,\sqrt{-m},2]=[2,\sqrt{-m}]$, puisque $m=8m'-2$
    et maintenant
    $(I{\cal O})^2=[4,2\sqrt{-m},-m]=[4,2\sqrt{-m},2]=[2,2\sqrt{-m}]=2\cal{O},$ qui est principal.
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