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Foncteur représentable amusant

Bonsoir

Qu'est ce que vous pensez de cette notation, $$ 1 ( \{ x \} ) = \mathrm{hom} ( \{ x \} , \{ 1 \} ) $$ où, pour tout $ f \in \mathrm{hom} ( \{ x \} , \{ 1 \} ) $, on a $ f \ : \ \{ x \} \to \{ 1 \} $ est définie par $ f(y) = 1 $ si $ y=x $ ?
Le nombre $ 1 \ : \ \mathcal{P} ( \mathbb{N} ) \to \{ 1 \} $ tel que $ 1 ( \{ x \} ) = 1 $ a-t-il une structure de foncteur ?
Est-t-il représentable par $ \{ 1 \} $ ?

Si c'est le cas, $ \mathbb{N} $ est une $ 2 $ - catégorie de foncteurs et transformations naturelles.

Merci d'avance.

Réponses

  • Voici un autre truc amusant,
    $ \mathbb{N} $ en tant que $ 2 $ - catégorie est Morita-equivalent à la $ 2 $ - catégorie $ \mathrm{Sym} = \{ \mathrm{Sym}_A \}_A $ des catégories des - $ A $ - groupes symétriques, par l'équivalence de Morita suivante,
    Pour tout $ A, B \subset \mathbb{N} $, $$ A \sim B \ \ \Longleftrightarrow \ \ |A| = |B| \ \ \Longleftrightarrow \ \ \mathrm{Sym}_A \sim \mathrm{Sym}_B $$
    D'où, $ \mathbb{N} = \mathrm{Sym} $ à équivalence de Morita près.

    Edit,

    $$ \mathbb{N} = \mathrm{Sym} = \{ \mathrm{Sym}_A \}_A = \{ \ \{ \mathfrak{S}_1 \} , \dots , \{ \mathfrak{S}_n \} , \dots \ \} = \{ \ \mathfrak{S}_1 , \dots , \mathfrak{S}_n , \dots \ \} $$
    D'où, $ \mathbb{N} $ s'identifie en tant que $ 1 $ - catégorie, à la catégorie, des groupes symétriques $ \{ \ \mathfrak{S}_1 , \dots , \mathfrak{S}_n , \dots \ \} $ à équivalence de Morita près.

    Edit,

    $ \{ \ \mathfrak{S}_1 , \dots , \mathfrak{S}_n , \dots \ \} $ a une structure d'opérade, et non de catégorie si je ne m'abuse.

    Edit,

    Donc, dans ce fil, j'ai montré que, $ \mathbb{N} $ a à la fois, une structure de,
    - $ 2 $ - catégorie.
    - $ 1 $ - catégorie.
    - opérade.
  • Très joli.
  • Merci Lupulus. :-)
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