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Faire mentir GeoGebra

Bonsoir,

Avec GGB on peut établir une relation entre deux objets. Par exemple le logiciel peut nous indiquer si le point $A$ se trouve sur la droite $(d)$ ou bien si le point $B$ appartient à l'ellipse $(e)$. Il permet de plus de faire varier des points sur des lignes, par exemple on peut déplacer un point $C$ sur une droite $(f)$ de sorte que tous les points liés à $C$ d'une manière ou d'une autre se déplacent en conséquence.

Admettons - ce qui suit n'est qu'un exemple - que GGB nous indique que le point $M$, lié à trois points $A$, $B$ et $C$, se trouve sur la droite $(g)$ quelles que soient les positions de ces trois points. Cela ne prouve rien bien entendu, et peut même être faux. Mais fabriquer un contre-exemple où GGB se trompe me paraît difficile. Et c'est ce que je vous demande : en connaissez-vous un ? Sinon, pouvez-vous en fabriquer un ?

Il s'agit de fabriquer une figure (même théorique, mais une bien concrète serait mieux) dont le test cité renverrait toujours true, alors qu'on peut prouver que c'est faux. Le test ne doit pas être réalisé pour un seul point, mais validé quelle que soit la valeur d'un paramètre qui se déplace continument, par exemple un point sur une ligne.

Réponses

  • Beaucoup plus simple : pour faire se tromper GeoGebra j’avais tracé deux droites et marqué un angle.
    En modifiant finement la position d’un point, la marque de l’angle était devenue un petit carré alors que les droites n’étaient pas perpendiculaires (c’était prouvable).

    Geogebra travaille avec des valeurs approchées mais pas seulement... (?) en fait je n’en sais rien.
    Si j’ai un peu de temps je vais essayer.
    La seule manière dans mon esprit est de s’approcher suffisamment d’un endroit pour que Geogebra ne sache pas que la différence entre deux points (par exemple) n’est pas nulle...
    Mais je suis peut-être trop naïf.
  • Oui, on peut faire en sorte d'aller au-delà de la précision GGB, par exemple : les droites $y=1$ et $(AB)$ avec $A(0,0)$ et $B(1,10^{-20})$ seront indiquées parallèles alors quelles ne le sont pas.
    Mais je veux un contre-exemple plus sophistiqué : il faut que GGB se trompe tout le temps, par exemple pour chaque position d'un point $A$ sur une droite. Et un contre-exemple non-artificiel (on peut certainement bidouiller mon exemple avec les deux droites). J'en veux un qui soit "naturel".
  • Pour tout vous dire : les ellipses, cercles ou droites étant ce qu'elles sont, c'est-à-dire des lieux de points dont les équations sont au plus de degré 2, je pense que GGB ne se trompe jamais (pour peu qu'on ne lui donne pas de données "artificielles", c'est-à-dire que les figures calculées sont celles avec lesquelles on travaille tout le temps, banales).
    Donc, c'est embêtant. Car si le logiciel ne se trompe pas, le commun des mortels va éprouver une certaine réticence à être convaincu par les arguments traditionnels, qui pourtant sont les seuls qui éclairent.
  • Modifié (December 2021)
    Bonsoir.
    Sauf erreur, dans les outils de base de Geogebra, il y a l'inversion par rapport à un cercle.
    Il est possible d'appliquer cette inversion sur une courbe, contrairement à ce qui est dit dans sa description.
    Voici un exemple fait un peu à la va-vite. Je doute que e' soit déterminable par une équation de degré 2.
    À bientôt.
    118658

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  • Bonsoir Dreamer,

    Le problème n'est pas de savoir si telle ou telle courbe est de degré 2 ou pas. Mais je retiens ton idée de faire intervenir l'inversion, car l'image du centre du cercle étant renvoyé à l'infini c'est prometteur pour piéger GGB.
  • Mon cher Ludwig
    Je ne sais pas où tu veux nous emmener mais l'image du centre d'un cercle transformé en une droite par une inversion n'est pas renvoyée à l'infini par cette inversion!
    Amicalement
    [small]p[/small]appus
  • Bonsoir pappus,

    Je parlais de l'image du centre du cercle d'inversion, qui n'est pas acceptée par GGB (pas de plan élargi $C\cup\infty$ pour le logiciel). L'idée est donc de fabriquer une figure où un ensemble de points frôlerait naturellement (pas d'artifice, c'est une contrainte imposée) le centre du cercle d'inversion pour que l'image ne soit plus perçue par le logiciel. Une idée comme une autre cette utilisation de l'inversion.

    L'objectif étant de montrer que le logiciel ne peut pas tout, y compris pour des problèmes aux données très bornées, c'est-à-dire le genre de figures qui sont travaillées par tous les collégiens et lycéens, et aussi les membres de ce forum.
  • Petites précisions :

    _ J'ai vraiment fait cela à la va-vite (trois points, une médiatrice, un cercle, une parabole, rien de bien méchant).
    _ L'idée était de montrer l'inversion sur une conique, en l'occurrence une parabole, pour bien montrer que le résultat n'est pas forcément une conique, ce qui n'est pas un scoop. Pour le fun, une hyperbole est encore plus belle.
    _ Les "points à l'infini" de la parabole sont transformés en "points au centre", mais c'est plus la manière dont les deux branches sont transformées qui est intéressant avec cette figure car cela est sans doute dû au choix des points et de la directrice pour la parabole.
    _ Il y a moyen d'obtenir des lieux géométriques qui sont plus étendus.
    Si je retrouve ce à quoi je pense je le posterai car il est question d'une droite, d'un cercle et du milieu d'un segment, le lieu est une surface.

    À bientôt.

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  • Allez pappus, fais mentir GeoGebra, j'en ai besoin. Trouves-moi une figure ou le logiciel se trompe sur, par exemple, l'appartenance d'un point à une ligne (droite, conique...). Et sans "tricher" : tu n'as pas le droit d'utiliser directement des nombres que GGB peut confondre (exemple : pour GGB, $10^{-17}=0$).
    Je souligne directement car une utilisation indirecte est évidemment possible. Par exemple j'ai cherché du côté des tangentes à une conique : qui dit tangente dit limite, et là le logiciel ne peut pas gérer. Et ici les nombres "infiniment petits" apparaissent naturellement, ce n'est pas tricher.
    Dreamer a aussi pensé a utiliser l'inversion, c'est une bonne idée car cette transformation peut potentiellement faire "exploser" une configuration (l'image d'un point près du centre du cercle d'inversion est envoyé très très loin, trop loin..).

    Il faut qu'on puisse prouver que pour la figure créée tel point appartienne à telle ligne, alors que GGB dit obstinément le contraire. Mais cela, est-ce possible ? Sinon, faut prouver que non.
  • En somme, Ludwig, tu veux trouver un bug de géogebra !
    Va chercher du côté du forum de géogebra, un bug qui serait signalé et pas encore réparé.
    AD
  • Mon cher Ludwig
    J'ai plusieurs fers au feu actuellement!
    Mais ta question m'intéresse.
    Je n'utilise que Cabri mais les problèmes sont les mêmes.
    Je me souviens de m'être retrouvé une fois dans cette situation où Cabri se trompait sans comprendre pourquoi.
    Laisse moi un peu de temps pour que j'y réfléchisse!
    Amicalement
    [small]p[/small]appus
  • Un problème de concours alors ?
    Mais j’ai déjà envie de tricher : placer une point artificiel...
  • @ AD : GeoGebra peut se tromper sans que ce soit un bug du logiciel, car il travaille avec des nombres plus grands que $10^{-15}$. Les autres il connaît pas, et ça engendre forcément des problèmes.

    Une piste qui me vient : une application successive de plusieurs transformations. GGB le fait l'une après l'autre bien sûr. Il ne connaît pas la composée, alors que nous pouvons prouver sur le papier de quoi elle retourne. Donc, si GGB a du mal avec la première transformation (car celle-ci le fait "exploser", de très grands nombres étant en jeu), la seconde sera défaillante et le résultat différent de la composée prouvée.

    @ pappus : le seul problème que j'ai rencontré avec GGB c'est avec l'outil LIEU. Une fois tracé un lieu et construit un point dont on a prouvé qu'il appartenait à ce lieu, GGB peut parfois dire le contraire. Simplement car il le trace de façon approximative. Mais c'est résoluble en demandant l'équation du lieu (lorsque cela est possible).

    @ Dom : je lance aussi le concours sur le forum GGB!
  • Haha.
    Concours comme point de concours de trois droites.
  • Bonjour,

    Michael Borcherds de l'équipe GGB m'a répondu sur le forum associé au logiciel en me donnant le lien de la commande PROVE. Je traduis le texte de cette page :

    Normalement GGB décide si une expression booléenne est vraie ou non en utilisant des calculs numériques. Cependant la commande PROUVER utilise quant à elle des méthodes symboliques. Si GGB ne peut pas déterminer la réponse avec cette commande, celle-ci renvoie Indéfini.

    Voir aussi la commande PREUVE DÉTAILLÉE.

    Bon, on en sait un peu plus. Mais le problème n'est pas totalement réglé : il s'agit maintenant de trouver des problèmes où GGB se trompe quand il ne fait que des calculs numériques mais ne se trompe pas avec la commande PROUVER, et des problèmes où GGB ne donne pas la réponse avec cette commande (ce qui ne veut pas dire qu'il ne donnera pas des résultats numériquement).
  • Pour mettre en défaut la commande PROUVER pas la peine d'aller chercher bien loin. On peut prendre une figure de fm_31.
    Si je trace, comme l'a définie fm_31, l'ellipse $(d)$ passant par $G$, $E$, $H$, $D$ et $I$ alors les commandes Prouver(F$\in$d) et Prouver(X11$\in$d) renvoient toutes les deux indéfini.

    Et on peut aussi remarquer qu'avec l'outil RELATION, GeoGebra indique que $F$ est sur l'ellipse mais que le point de Feuerbach $X11$ n'y est pas. Ben voilà un exemple où GeoGebra se trompe (numériquement) tout le temps !

    Hum c'est bizarre qu'il se trompe autant, on voit presque à l'oeil nu que $X11$ n'est pas tout à fait sur l'ellipse, peut-être que ça tient aussi à la façon dont il a construit ce point (j'ai utilisé la commande TriangleCentre(A,B,C,11)).118730
  • Ludwig : de ce que j'ai lu en suivant ton lien, les programmeurs de Geogebra ont la volonté de rendre la commande PROVE totalement opaque à l'utilisateur final, cela se comprend facilement.

    Partant de ce constat, mettre en évidence des défauts de preuves ne va conduire qu'à une chose, les voir intégrées dans les versions suivantes, sans doute avec des rustines ou des brics et brocs.

    Bref, ton travail comme bêta-testeur ne fait que commencer.

    A bientôt.

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  • Désolé, j'utiliserai l'anglais ici car je ne parle pas français.

    You are right. This is indeed a bug in GeoGebra. You may want to check out a more recent version at https://github.com/kovzol/geogebra-discovery. This new version returns "undefined" instead of "false".

    Best regards,
    Zoltan Kovacs
    (main developer of the Prove command in GeoGebra)
  • Oups je me suis trompé à faire la figure de fm_31 (merci Rescassol pour ton aide).
    Du coup cette figure ne fournit pas un exemple où GGB se trompe numériquement avec l'outil RELATION, dommage!
    Par contre la commande Prouver(X11$\in$d) renvoie bien undefined.
    ok.ggb 30.5K
  • Bonjour,

    Une petite figure pour essayer de faire avancer le problème, ou en tout cas montrer les limites du logiciel.

    J'ai construit en bleu le cercle trigonométrique et placé un pont $M$ variable sur la droite $x=0$, ainsi qu'un point $C$, fixe, sur $y=0$.
    La droite $(AM)$ recoupe le cercle $(O)$ en $N$. La perpendiculaire à $(AM)$ passant par $A$ coupe $(NC)$ en $P$.
    Le cercle de centre $A$ passant par $P$ coupe $y=0$ en $D$. Je trace ensuite le cercle de diamètre $[OD]$, qui coupe $x=-1$ en $R$.
    Enfin j'ai tracé le lieu (en orange) de $R$ lorsque $M$ varie sur $x=0$.

    On peut démontrer que ce lieu est le segment $[XY]$ privé de ses extrémités, où $X=A=(-1,0)$ et $Y=(-1,1)$. Or, lorsqu'on place un point $L$ sur ce lieu et qu'on le rapproche de $A$ on bute sur le point d'ordonnée $0,00112$ environ. Car un petit calcul montre que le point $N$ ne saurait se rapprocher de l'axe des abscisses à moins de $ \frac{1}{\sqrt{10^{14}}}=10^{-7}$, et le point $R$ correspondant à la racine carrée de $AP$ ne saurait quant à lui s'en rapprocher à moins de $\sqrt{10^{-7}} \approx 0.001$.119736
  • Modifié (December 2021)
    Bonsoir,
    Je devrais changer le titre de ce fil, car en réalité GGB ment tout le temps ! Et c'est de ce tissu de mensonges qu'on arrache un bout de vérité ! Il ment tout le temps car les coordonnéés des points affichés sont toutes rationnelles ! Alors juste un exemple : traçons la courbe d'équation $x^3+y^3=1$... le logiciel nous donne donc en trois secondes un paquet de solutions à une équation dont il a fallu trois siècles pour prouver qu'elle n'en avait pas !
  • L'équation de Fermat de degré trois se résout en moins de trois siècles par descente infinie, cf. par exemple http://serge.mehl.free.fr/anx/th_fermat_gd3.html.
  • Hum… je sais parfaitement que les données chiffrées telles les coordonnées sont des valeurs approchées.

    Autant je déplore ce « = » devant chaque nombre et ça m’agace puisque je me doute que les concepteurs savent très bien qu’il n’est pas fiable, autant je ne dirais pas que GGB « ment ». 
    Sur cet exemple, non, franchement non.
  • Bonjour.
    La Géométrie est l'art d'obtenir des assertions correctes à partir de figures incorrectes.
    Je ne vois pas en quoi Geogebra devrait pouvoir faire mieux que cela.
    À bientôt.

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  • DomDom
    Modifié (December 2021)
    Exact. Il ne s’agit que de représentations.
    Je ne sais pas si je l’ai déjà suggéré dans ce fil (j’ai du mal à remonter depuis mon téléphone…) : qui pourrait trouver une figure où l’on démontre qu’un concours de trois droites a lieu mais où en zoomant, GGB se trompe et montre trois droites visiblement pas concourantes ?
  • Oui on peut chercher trois droites non concourantes mais qui le sont pour GGB. Dans le fil sur les figures "presque" j'avais posté ces polygones réguliers : les segments dessinés sont concourants pour celui à huit côtés et celui à douze, ils ne le sont pas pour celui à quinze (et il faut beaucoup zoomer pour le voir).
    Pour généraliser je propose le problème suivant : on considère un polygone régulier à $n$ côtés, inscrit dans un cercle de rayon $1$. On prend tout les points d'intersection des segments joignant deux sommets (étant entendu que des segments concourants définissent le même point). Quelle est la plus petite distance $d_n$ séparant deux de ces points ?
    Meilleurs voeux à tous !

    $d_3=\sqrt{3}$, $d_4=1$... 


  • Petite nuance. 
    Je cherche plutôt des droites concourantes mais telles que GGB les considère comme non concourantes. 
    (et non des droites non concourantes que GGB « montre » comme concourantes si on ne zoome pas assez)
  • Ok Dom je t'avais mal lu. Il y a quelque chose qui te fait penser que ce serait plus facile de trouver dans ce sens ?
  • DomDom
    Modifié (2 Jan)
    Ok. 
    Non, à vrai dire, je pense qu’il n’est pas aisé voire impossible que l’on trouve un tel cas de figure. 
    Il faut jouer sur les valeurs approchées, et, tiens, en écrivant, je pense tout simplement au concours des hauteurs d’un triangle. 
    1) On trace deux hauteurs avec GGB
    2) On va faire tracer la troisième mais il faudrait ne pas utiliser l’angle droit de GGB mais peut-être une ligne trigonométrique que GGB est obligé de calculer avec une valeur approchée un peu batarde… de sorte que ladite droite passe très à côté de l’orthocentre alors qu’elle devrait nécessairement y passer.
    J’ai du boulot sur le feu…
  • Une autre figure pour montrer les limites du logiciel : soient $O(0,0)$, $A(-1,0)$, $B(0,-1)$, $C(1,0)$ et $D(0,1)$. On place un point $M_0$ sur $(Ox)$, d'abscisse plus grande que $1$. Le cercle de diamètre $[AM_0]$ coupe $[Oy)$ en $M_1$, le cercle de diamètre $[BM_1]$ coupe $[Ox-)$ en $M_2$, etc. De sorte que l'abscisse de $M_4$ est égale à la racine seizième de celle de $M_0$ (j'ai répété quatre fois une construction géométrique classique de la racine carrée).
    En orange le lieu de $M_4$ lorsque $M_0$ varie. Je place un point $N$ dessus. La puissance seize de l'abscisse maximale de ce point vaut $199997$, ce qui donne une bonne idée des dimensions de la fenêtre graphique.
    Une construction amusante, qui pourrait peut-être servir (voir ma construction d'avril dans ce fil).
    Bonne rentrée à ceux qui rentrent !


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