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Permutations d'objets partiellement indisc...

Bonsoir.
Considérons le mot $PARALLELOGRAMME$. Quand on sort de la grande section, on sait qu'on peut former $\frac{15!}{3!2!3!2!2!}$ mots différents à partir des lettres de ce mot. Le raisonnement classique pour s'en convaincre consiste à écrire $PA_1R_1A_2L_1L_2E_1L_3OGR_2A_3M_1M_2E_2$, c'est à dire à distinguer les lettres qui se répètent, compter en en tenant compte : $15!$, compter pour chaque mot le nombre de permutation des lettres qui se répètent : $3!2!3!2!2!$, et enfin, à diviser l'un par l'autre. C'est sur ce dernier point que j'aimerais discuter : pourquoi diviser ? Je sais qu'on doit diviser mais je ne saurais pas l'expliquer simplement. Il doit bien y avoir une explication formelle à coup de groupes quotients mais je cherche plutôt une explication pleine de bon sens, naturelle, qu'un enfant puisse comprendre.
Merci !

Réponses

  • Si tu ne divises pas par le facteur $3!$ correspondant aux emplacements des lettres $P$, tu vas compter $3!$ fois le même mot. Et le raisonnement est le même pour chaque lettre à répétition.
  • On a 2 M dans Parallogramme
    Quand on a compté les 15! mots possibles, on a considéré que $PARALLELOGRAM_1M_2E$ et $PARALLELOGRAM_2M_1E$ étaient 2 mots différents.
    Mais en fait, on veut les compter comme un seul et même mot.
    Et comme systématiquement, pour chaque mot , on l'a compté 2 fois au lieu d'une, il faut diviser par 2.
  • Oui c'est vrai. Je ne sais pas pourquoi mais je fais un blocage là-dessus, c'est tout con pourtant. Je me souviens que j'avais à peu près la même sensation à propos d'un résultat sur les séries alternées qui disait en gros que certaines séries alternées convergentes, si on les considérait positive, pouvait converger vers ce qu'on voulait. J'avais compris la preuve mais j'avais en sentiment de flou sans trop pouvoir l'expliquer.
  • B&B : La méthode est connue sous le nom de "lemme des bergers" : Pour compter ses moutons, le berger n'a pas besoin de se lever; il compte le nombre de pattes et divise par 4.

    Cordialement.
  • Salut.
    Parce que les deux exemples donnés par @lourrran divisent l'ensemble des mots en deux groupes de mots qui sont en fait les mêmes.
  • @ Boole et Bill : " quand on sort de la grande section...." C'est à dire quelle classe ? car je ne connais ce terme que pour la primaire.
  • C'était une blague ;-)
  • Bonjour

    La factorielle est symbolique de l'ordre. Il y a n! ordres sur un ensemble de n éléments. Lorsqu'on lit ton calcul, on voit 15 lettres dans l'ordre auquel on enlève l'ordre sur un groupe de 3, de 2 ..., de 2.

    Ta question retombe sur quelque chose d'important en dénombrement : idem ou pas pareil ?
    • PARALLELOGRAMME est le même mot si j'inverse les M. Mais si je mets une couleur différente à chaque lettre, les anagrammes possibles sont à nouveau en quantité 15! ! (notez la différence entre une factorielle et un point d'exclamation en français, contrairement à l'anglais :-D ).
    • (4,3) et (3,4) forment 2 mariages possibles de 3 et 4. Mais il y a un seul mariage de 1 et 1 -> (1,1). Là encore, le tout est de savoir si les deux éléments à marier sont identiques ou différents.
  • Tu voulais des groupes ?
    Tu as l'ensemble des mots écrits avec ces lettres. C'est l'orbite de PARALLELOGRAMME sous l'action du groupe de permutations des 15 places. On sait que le cardinal de l'orbite est égal au cardinal du groupe divisé par le cardinal du stabilisateur de PARALLELOGRAMME. Ce stabilisateur est le produit des sous-groupes de permutations permutant une lettre donnée.
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