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Notion derrière $\Z[\text{truc}]$

Dans les contre-exemples sur les anneaux, je lis souvent des choses du genre $\Z[\text{un nombre complexe particulier}]$. Même si je devine à quoi ça ressemble à chaque fois, ça n'est pas 100% clair pour moi et je n'ai jamais vu de définition générale.

Quelle est le concept général derrière ça ? J'ai trouvé sur Internet la définition des entiers de Gauss et des variantes mais j'aimerais avoir le cas général.

Est-ce cela : si $B$ est un sous-anneau d'un anneau $A$ et $a\in A$, alors $B[a]$ est le sous-anneau de $A$ engendré par $B\cup\{a\}$ (i.e. le plus petit sous-anneau de $A$ contenant $B\cup\{a\}$) ? Ou c'est autre chose ?

Réponses

  • Tape "corps quadratique" dans un moteur de recherche.
  • Oui, c'est l'interprétation la plus logique.

    Cette notation apparaît cependant dans d'autre contexte.

    Si $M$ est un monoïde alors $\mathbb Z[M]$ est l'anneau avec variables $X^m$ (pour $m \in M$) et relations $X^mX^n = X^{m+n}$. Par exemple, $\Bbb Z[\mathbb N] = \mathbb Z[x], \mathbb Z[\mathbb Z] = \mathbb Z[x,x^{-1}]$.

    Si $G$ est un groupe, alors $\mathbb Z[G]$ (l'algèbre de groupe) est engendré par les combinaisons formelles $\sum_{g \in G} a_g \cdot g$ où les $a_g$ sont des entiers presque tous nuls, avec multiplication induite par $G$.

    (Edit : problème avec du latex)
  • @topopot : Si $z$ est un nombre complexe, $\mathbb Z[z]$ est l'image de l'unique morphisme de $\mathbb Z$-algèbres $\mathbb Z[X] \to \mathbb C$ qui envoie $X$ sur $z$. Autrement dit c'est $\{P(z) \mid P \in \mathbb Z[X]\}$.
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