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Catégories dérivées

Bonsoir,
il semblerait que les catégories dérivées soient le bon cadre pour étudier des complexes de chaînes. Mais j'ai du mal à le situer par rapport à ce que l'on appelle l'algèbre homologique. J'aimerais déjà comprendre ça.
Ensuite, il semblerait que l'on puisse y définir une notion d'homotopie. Je voudrais bien comprendre en quel sens cela est relié à la notion traditionnelle et topologique d'homotopie, et quel type d'information apporte ce que l'on appelle invariant d'homotopie sur l'objet dérivé.

Quelqu'un peut-il m'aider à y voir plus clair ?
ignatus.

Réponses

  • Je viens de lire, péniblement, les deux tiers de cet article de wikipédia. Il y est expliqué la notion d'homotopie de complexes de chaînes. On y mentionne que, dans le cadre des espaces topologiques, la notion usuelle d'homotopie correspond à celle qui est donnée ici pour les chaînes de l'homologie singulière.
    Cette catégorie homotopique est plus large que la catégorie dérivée, qui nécessite que la catégorie sous-jacente soit abélienne.
    Dans une catégorie abélienne A, sa catégorie dérivée D(A) a pour isomorphismes tous les isomorphismes de la catégorie Kom(A) des complexes de chaînes de A, alors que la catégorie homotopique de A, K(A) a pour isomorphismes, les isomorphismes homotopes à 0.

    Il y a alors deux problèmes : définir une théorie de l'homotopie, et aussi, ce que je ne comprends pas, c'est l'information que cela nous donne sur les objets dont on est parti pour construire les complexes de chaînes. Est-ce que, comme pour l'informatique, c'est juste une façon de dire que les objets de départ sont les "mêmes" ?

    ignatus
  • Désolé je risque d'être un peu franc : en voyant tes récents posts, qui sont de la forme "Bonjour, j'ai vu X (objet compliqué) qui a l'air intéressant mais je ne sais pas pourquoi, pouvez vous m'expliquez ??" il me semble que tu prends le problème du mauvais côté.

    C'est un peu (à mon avis) essayer d'apprendre les catégories sans bien connaître la topologie algébrique ou la théorie des groupes : on a l'impression qu'on comprend beaucoup mieux mais c'est beaucoup de théorie dans le vide, car on a pas de réelle motivation.

    Je vois par exemple plein d'étudiants de fin de licence qui disent "on veut comprendre les catégories, on veut comprendre les faisceaux ! " et qui sont indifférents face au théorème d'Abel-Jacobi, où à des choses beaucoup plus simple comme la théorie des représentations qui sont à mon avis bien plus fondamentaux, et de plus qui sont un excellent exemple où on voit apparaître des faisceaux et/ou des foncteurs.
    _________

    Pour répondre à la question : toutes les explications "abstraites" qu'on peut te donner ne remplaceront jamais à mon avis un réel problème où tu as besoin des catégories dérivées. Un exemple concret où les catégories dérivées sont nécessaires est le formalisme des 6 foncteurs en cohomologie étale. Un autre exemple est la transformée de Fourier-Mukai, qui possède beaucoup d'applications en géométrie algébrique.
  • Bonsoir Lupulus,

    je viens de lire ton message. Je pense que tu as totalement raison.

    ignatus.
  • Ton deuxième message n'a pas beaucoup de sens, spécifiquement le passage sur les isomorphismes...

    Je suis à moitié d'accord avec Lupulus, mais pas pour les mêmes raisons (désolé Lupulus :-D salut au passage ! ;-) )

    J'ai plutôt l'impression que tu cherches à comprendre des notions sans.. chercher à les comprendre? i.e. tu cherches à les comprendre mais sans travailler dessus, ce qui risque de ne mener à rien. Bon, évidemment ça n'a rien à voir avec ce que nous fait Pablo, parce que j'ai l'impression que tu en es conscient, mais du coup ça fait bizarre.
    Les maths avancées, ça se travaille et on ne peut pas avancer/comprendre sans ça.
    Quant à la question de savoir s'il faut des problèmes concrets pour apprendre les catégories ou les trucs du genre... je ne suis pas trop d'accord avec Lupulus, ma première rencontre avec elles a été en fin de première année de prépa, et elle a été magique sans même que je leur connaisse toutes les applications que je leur connais maintenant, ou que je ne connaisse les problèmes qui les ont nécessitées.
    Mais bon, selon moi tes questions récentes sont bizarres plutôt à cause de ce que j'explique plus haut.

    J'essaie quand même de répondre rapidement, à tout hasard. Les catégories dérivées sont nées pour mieux comprendre les foncteurs dérivés, qui sont nés initialement pour des calculs. Comme je l'expliquais dans l'autre post, $-\otimes A$ n'est pas, en général, exact, et le terme de correction est un $\mathrm{Tor}_1(-,A)$, qu'il a fallu découvrir. On s'est ensuite rendu compte que ce $\mathrm{Tor}_1(-,A)$ n'était qu'une ombre du vrai objet, le produit tensoriel dérivé $-\otimes^L A$.

    Mais le but de comprendre la catégorie dérivée, c'est initialement de comprendre $-\otimes A$ (ou ce genre de chose, plus généralement disons des foncteurs additifs pas exacts). En fait, plus généralement, une bonne partie de l'homotopie peut s'expliquer par : on cherche à comprendre $\pi_0$ de quelque chose (une version "discrète" si tu veux, c'est elle qui nous intéresse vraiment vraiment), mais on se rend compte que pour le comprendre, il faut aussi comprendre les $\pi_i, i>0$, et en fait, pour mieux les comprendre eux, il faut mieux comprendre l'objet "dérivé" sous-jacent. Mais c'est essentiellement toujours le $\pi_0$ qui intéresse (j'exagère; mais je fais exprès), et c'est ça l'information qu'on veut et peut tirer de la catégorie dérivée.

    Dans la catégorie dérivée, un morphisme $C\to D$ est un isomorphisme dès lors que pour tout $i$, $H_i(C)\to H_i(D)$ en est un. En particulier, l'information que tu retiens sur le complexe $C$ à partir de son image dans la catégorie dérivée, c'est ses groupes d'homologie et certaines relations entre eux, mais rien de "strict" sur $C$.
    Bon tout ça c'est très abstrait, je donne un exemple un tout petit peu plus concret : disons que j'ai un anneau commutatif $R$ et un idéal $I$. Je cherche à comprendre un peu $I^2$, et sa relation à $I\otimes_R I$ (pourquoi c'est intéressant ? Bah $I\otimes_R I$ c'est en quelque sorte des sommes "formelles" $\sum_k i_k\otimes j_k$, alors que $I^2$ c'est ces sommes, mais pas formelles, je les ai vraiment évaluées - étudier la "différence" c'est étudier les relations entre les éléments de $I$. Bref.)
    Ce qui va donc m'intéresser c'est le morphisme $I\otimes_R I\to I$, et spécifiquement son noyau (par définition, son image est $I^2$). Je me rends compte que je peux l'écrire comme $I\otimes_R(I\to R)$, et donc je suis naïf, je me dis que puisque $I\to R$ est injectif, $I\otimes_R(I\to R)$ aussi ! Sauf que c'est faux ! On a une suite exacte $0\to I\to R\to R/I\to 0$, donc en fait, en passant au produit tensoriel, on a une suite exacte longue $\dots \to \mathrm{Tor}_1^R(I,R/I)\to I\otimes_R I\to I\to I\otimes_R R/I\to 0$.

    Là, tu vois que le $\mathrm{Tor}$ est forcé ! si je veux étudier le noyau de $I\otimes_RI\to I$, je suis condamné à essayer de comprendre ce terme correctif. Je veux étudier un $\pi_0$ (le produit tensoriel), et pour ce faire, je dois étudier des termes d'ordres supérieur. Maintenant, je le répète, pour mieux comprendre ces termes correctifs, avoir une version plus conceptuelle, on introduit la catégorie dérivée - c'est son origine, et c'est en quelque sorte ce qu'elle permet de faire, et le genre d'informations qu'elle contient ce sont ces "termes d'ordre supérieur".

    Bon c'était un peu vague, mais le point c'est que comme je ne sais pas dans quelle mesure tu veux vraiment travailler là dessus, je ne sais pas dans quelle mesure les détails t'intéressent véritablement... Donc je m'en tiens à ça pour le moment
  • Maxtimax, je réponds au tout début de ton message.

    Je fais avant tout des maths pour me faire plaisir, comme tout le monde, mais je n'ai pas vraiment de centres d'intérêts très précis, et surtout, je ne suis pas capable de fournir un effort intense et sur la durée sur un sujet précis. Du coup, comme pour les collégiens, j'applique ce que l'on pourrait appeler une progression en spirale. Il y a une question qui me tracasse à un moment donné, j'essaie d'obtenir quelques renseignements et des documents, et je passe à autre chose, en me disant que j'y reviendrais.
    Contrairement à ce que tu sembles dire, j'ai l'impression de progresser, même si cela n'est pas flagrant sur un domaine précis. Petit à petit, les choses me deviennent plus familières, et même si j'en ai oublié quelques unes, la maturité aidant, elles reviennent vite.

    Je crois que ce qui est important, c'est que j'ai l'impression d'apprendre des choses, que cela m'apporte quelque chose. Je pose des questions volontairement profondes parce que vagues, pour lesquelles je sais parfaitement qu'il me faudrait travailler des années dessus pour y voir plus clair, mais ce qui m'importe d'abord, c'est qu'en essayant de comprendre les réponses, j'apprendrai des choses, même si je n'aurais pas résolu mon problème.

    Pour l'instant, je ne suis pas capable de faire plus. Si un jour ça va mieux, peut-être que je pourrais travailler intensément sur un sujet donné de façon durable. En attendant, je fais avec les possibilités du moment, et je grapille ce que je peux grapiller.

    ignatus.
  • Lupulus a très bien résumé la chose. Maxime également mais...

    Mis à part quelques mutants (désolé Maxime) qui font vraiment du langage des catégories pure (ou de la théorie de l'homotopie pure, théorie des schémas pure etc) on utilise ces objets dans le but d'avancer dans nos travaux. On ne fait pas des mathématiques appliquées faut pas abuser mais on se sert du travail d'une minorité pour avancer sur un sujet concret. Cela peut être la théorie des nombres, les groupes, la théorie des nœuds en dimension 3... etc

    Pour ma part c'était au début les algèbres de Lie et leurs représentations (cela sera toujours mes exemples conducteurs, mais il a fallu passer à la catégorification de ces objets, voire des catégories dérivées, triangulées.) Ensuite les groupes quantiques etc.

    Après, si tu passes du côté purement algébrique, tu arrives aux groupes algébriques (sans oublier que se sont des algèbres de Lie) et tu vas te farcir les schémas en groupes puis la théorie des schémas en groupes pure etc.

    Rien ne t’empêches à partir où un domaine abstrait te plaît de délaisser tes groupes et de partir dans la théorie de l'homotopie moderne et la faire avancer (des exemples seront toujours utiles) mais ce n'est pas la même recherche selon moi. Tu vas inventer une théorie ou faire avancer une théorie et selon moi c'est plus fort.
    Sans groupe comme exemple, je n'aurais jamais été capable de piger toutes ces choses.

    Maintenant, je me suis focalisé sur un type de groupes en particulier et me sers de théorie des modèles parfois. Je m'intéresse à quelle mesure je peux mettre sur ces groupes (Haar c'est mort, j'hésite encore entre extrêmement moyennable et moyennable).

    J'ai appris la théorie descriptive des ensembles, la logique continue, la théorie ergodique et les systèmes dynamiques rien que pour mes groupes.
    Le but ultime est de connaître les propriétés de ma classe de groupes dans tous les domaines cités.

    C'est un problème non résolu.
    Ce n'est pas de la recherche mathématique pure dans le sens où j'utilise d'autres résultats pour prouver les miens. Je ne crée rien.
    Je ne sais pas si c'est clair...

    Un exemple en théorie des modèles
    Pierre Simon a défoncé la théorie des modèles NIP, théorie des modèles pures.
    D'autres mathématiciens vont l'appliquer à un sujet donné et démontrer grâce à la théorie NIP des théorèmes adaptés à ce sujet.

    C'est un peu pareil pour l'apprentissage, certains auront besoin d'exemples concrets pour avancer, d'autres (Max) feront pratiquement seul les démos et arriveront à généraliser les choses et donner directement des exemples parfaits.
    Il faut trouver le juste milieu lol.

    [small](Je ne suis pas une buse non plus, j'ai majoré géométrie algébrique 2 avec cette méthode)[/small]

    Il y a pleins de façons de faire de la recherche...
  • axexe : je suis d'accord sur le fait qu'il y a plein de manières de faire de la recherche. Pour appuyer ton propos (pas sur le fait que je sois un mutant :-D :-D), je peux reprendre une discussion que j'ai eu avec un ex prof de prépa : certaines personnes vont du "bas vers le haut", partent d'exemples et en extraient les situations générales et des résultats mathématiques; et d'autres du "haut vers le bas", comprennent mieux la situation générale et regardent les exemples ensuite.
    Dans mon expérience, je me situe plutôt dans la deuxième catégorie (sans mauvais jeu de mots), et ce qu'axexe a l'air de décrire (corrige moi si je me trompe) c'est plutôt la première.
    Il n'y a pas de mieux ou de moins bien, juste différentes manières (et d'ailleurs j'ai certainement créé une fausse dichotomie avec ces deux catégories, mais c'est un schéma général, pas quelque chose de précis)
  • Allez, une petite question égocentrique : et moi, je suis dans quelle catégorie ?

    ignatus.
  • Bon, je pense être dans la catégorie de ceux qui se sentent bien dans la deuxième catégorie, mais qui, pour diverses raisons, n'y arrivent pas...

    Il faut maintenant revenir au sujet du fil ...

    ignatus.
  • Je veux dire, quand on voit le message "je suis pas trop au clair avec le produit tensoriel" suivi de "pouvez vous m'expliquez les catégories dérivées" ça m'a juste fait un peu bizarre...

    Je rejoins aussi Max (salut !! j'espère que tu vas bien :-D) : à partir d'un certain niveau, il faut travailler beaucoup pour comprendre et poser des questions "par curiosité" sans compter travailler dessus avec du papier/crayon est un peu inutile. Il y a des pages Wikipédia qui expliquent un peu, et des articles. Si tu veux comprendre plus (voir comprendre tout court), il faut toi même travailler avant de venir poser une question (il y a toujours des références sur les prérequis que tu peux utiliser, jusqu'à ce que tu trouves quelque chose que tu comprennes).

    Là où je ne rejoins pas Max, c'est sur le fait qu'on peut apprendre les catégories "en premier" (je pense que je suis relativement d'accord avec toi, mais j'aime bien argumenter. :-D) D'expérience, à moins d'être très talentueux en maths (bon tu me dirais si on se destine à faire de la recherche il faut un peu l'être :-D ) apprendre les catégories avant les "vrais maths" c'est (à moins d'être un génie) faire les choses dans le mauvais sens. Je veux dire : que peut-on prouver vraiment en algèbre linéaire en utilisant des catégories ? Pas grand chose à mon avis, et de même pour l'analyse, la topologie de base, et la théorie des groupes. Évidemment on peut reformuler quelques théorèmes avec les catégories mais ça me semble plus un langage qu'une réelle chose utile. Pour moi, avant la topologie algébrique ou l'algèbre commutative avancée, la théorie des catégories n'aide pas à prouver des nouveaux théorèmes (au mieux elle permet de reformuler des choses pas très compliquées). Et même ici, je vais être mauvaise langue et dire que juste avec de l'algèbre homologique on peut très bien s'en sortir et donner une théorie solide et cohérente. :p

    J'avais d'ailleurs détesté mon cours de topologie algébrique, où nous avions passé plusieurs semaines à introduire des foncteurs, etc ... pour à la fin ne pas être capable de voir des exemples plus compliqués qu'un tore et avoir à peine défini la cohomologie (alors qu'on avait déjà vu le groupe fonda en topo générale ...). Pour moi c'est de l'idéologie pure qu'on nous a imposé, et on a même pas vu Mayer-Vietoris par exemple, ni autre chose que l'homologie simpliciale (qui est horrible pour les calculs, en exo on a du trianguler un plan projectif, alors qu'avec les $\Delta$-complexes c'est beaucoup plus clair et intuitif) ...

    Je pense que ce n'est pas un hasard si les plus grandes "stars" des $\infty$-catégories sont aussi capables de fournir des solutions à des problèmes en homotopie, en géométrie algébrique, en théorie des nombres, en théorie des représentations et dans d'autres domaines (je pense par exemple à Lurie et Gaitsgory.) C'est parce qu'à mon avis ils n'ont pas appris ce sujet "déconnecté" de tout, mais qu'à force de travailler sur un problème initial qui utilisait ces outils abstraits ils ont finis par les apprécier plus et continuer cette théorie indépendamment, ce qui est différent que d'apprendre les catégories "dans le vide" comme ignatus semble vouloir le faire.

    Je ne suis pas du tout contre les catégories et j'utilise assez souvent des catégories dérivées dans ma recherche en permanence, mais il me semble que les catégories sont vraiment utiles disons à partir du master. Les introduire vite fait avant peut-être, mais essayer de "fonder" un cours de théorie des groupes dessus par exemple me semble néfaste au plus haut point, à part peut-être pour les personnes plus talentueuses comme toi Max.
  • La digression semble s'éterniser, ce qui est regrettable, mais j'ai quand même envie de répondre.

    Deux remarques : 1) Si je pose des questions sans prendre la peine d'effectuer beaucoup de recherches en amont, c'est justement pour pouvoir communiquer, et apprendre par ce moyen. Bien que je connaisse beaucoup de chercheurs, je suis en fin de compte très isolé, et je ne me sens pas capable d'apprendre des choses compliquées tout seul dans mon coin. Je viens donc sur le forum pour communiquer, et m'obliger à fournir un minimum de travail, fût-il vraiment minimal...
    2) La deuxième chose que tu sembles ne pas comprendre Lupulus, c'est le besoin d'abstraction pour obtenir une satisfaction intellectuelle. Certaines personnes ont besoin de se confronter à des choses très abstraites uniquement pour en retirer un plaisir intellectuel. C'est une forme de masturbation, je le reconnais. Le but n'est pas forcément de devenir calé dans un domaine, mais seulement de pouvoir ressentir à un moment un certain plaisir intellectuel. Il est donc normal que cela puisse donner l'impression d'apprendre dans le vide, parce que justement, l'objectif premier, c'est d'avoir du plaisir...

    ignatus.
  • Je t'ai donné deux motivations pour les catégories dérivées : le formalisme des six foncteurs en cohomologie étale, et la transformée de Fourier-Mukai. Je rajoute que les catégories dérivées sont très bien expliquées ici : https://webusers.imj-prg.fr/~pierre.schapira/lectnotes/HomAl.pdf

    Pour répondre à 2) : c'est à peu près ce que fait Pablo, sauf que lui ne l'admet pas. Mais poser ces questions, c'est faire perdre du temps aux gens qui te répondent. C'est un peu comme si tu demandais le fonctionnement d'une voiture à un garagiste, et qu'après une description précise tu lui dise : "pas besoin d'être trop précis de toute façon, c'est juste pour me faire un peu rêver en imaginant qu'il se passe des trucs compliqués à l'intérieur de la voiture". Avoue que c'est un peu frustrant pour le garagiste :-D
  • Rapidement,

    pour répondre à ton 2e paragraphe : Je ne crois pas faire comme Pablo, parce que j'essaie vraiment de comprendre, lorsqu'on s'en donne la peine... Quand Maxtimax me donne des explications, je lui en redemande. Les choses stoppent net lorsque l'interlocuteur finit par me balancer des pavés en me disant "Lis ça, et après viens me voir." A peu de choses près, tout le contenu de mes fils est de cette forme.
    Je reconnais que la patience de Maxtimax est exceptionnelle, et que peu daignent vraiment prendre le temps de vouloir expliquer...

    ignatus.
  • En fait, j'ai l'impression que les spécialistes ne veulent pas vraiment expliquer, car ils considèrent cela comme une perte de temps pour eux s'ils ne s'adressent pas déjà à des personnes confirmées. Donc, j'ai droit, en général, à un "brossage" général de la situation, que l'on me jette comme un bout de pain en espérant que cela va me calmer, mais lorsque j'ai le toupet de répondre et de demander des précisions, alors c'est tout de suite des pavés de spécialistes, comme ça, on est sûr que je la ramènerais pas...

    ignatus.
  • Je ne suis pas spécialiste sur les catégories dérivées, et les spécialistes présents ici (NoName et Max) t'ont donné un nombre incroyable d'explications, que tu as refusé de travailler pour toi même.

    Encore une fois, c'est comme si tu voulais apprendre à faire de la poésie en chinois sans apprendre la grammaire. Ce n'est pas du snobisme de dire "apprends l'alphabet et la grammaire avant".

    Demander des précisions ça veut dire pas dire "ok envoie moi un deuxième pavé stp je suis intéressé" mais plutôt "ok j'ai essayé de travailler un exemple/de comprendre un théorème et je n'ai pas compris".
  • Je rajouterais pour clore cette affaire que le poly de Schapira me semble tout à fait accessible.
    Par contre, oser me parler du formalisme des six foncteurs en cohomologie étale, et me dire, débrouille toi avec ça, c'est d'un manque de respect et de foutage de gueule incommensurable... En quoi est-ce une explication fine de la machinerie ? Tu crois vraiment que je vais refaire le travail de Joseph Ayoub, avec en plus le gros désavantage de ne pas recevoir d'aide, tout seul dans mon coin ? Non, tu ne le crois pas. Alors pourquoi tu me balances ça, comme si c'était une réponse valable ? Et en plus à deux reprises, parce que tu es un convaincu...

    ignatus.
  • Nos messages viennent de se croiser.

    Je n'ai cessé de poser des questions pour essayer de comprendre, jusqu'à ce que tu viennes bousiller le fil...

    Et soit dit en passant, je ne t'ai jamais vu expliquer quoi que ce soit en quelque domaine que ce soit, sinon te moquer de Pablo...

    Je veux bien apprendre l'alphabet et la grammaire en chinois. On commence quand Professeur ?

    ignatus.
  • @Maxtimax

    Oui c'est parfaitement que je voulais dire (désolé AD pour les fautes).
    Même si parfois, on est obligé de nager entre les deux :-D.

    @ignatus

    Le forum n'est pas là pour donner des cours de mathématiques et à mon sens ni pour donner une intuition à des objets mathématiques non maitrisés.

    C'est à travers les livres et un dur travail que tu vas te forger ta propre intuition.
    C'est à mon sens le premier travail de tous mathématiciens en devenir et cela doit commencer en M1 (MPSI?).

    Ce n'est que de cette manière que tu pourras acquérir la culture mathématique qui te permettra de former ta propre perspective des mathématiques.
    Le fait d'acquérir une perspective personnelle sur les mathématique que tu apprends est sans doute l'un des buts à long terme que tu dois te fixer.

    Le forum doit servir à peaufiner cette approche et tu y touveras ton compte.

    Ce n'est que mon avis.

    Viens faire un tour dans fondements et logique sur le paradoxe de Skolem (dans le fil "infinité de nombres premiers").
    Tu comprendras ce que je veux dire...
  • Calmons-nous un petit peu.
    Je vais un peu résumer la situation en essayant de ne pas être biaisé et de ne blesser personne - si vous n'êtes pas d'accord avec le résumé, je vous propose d'en discuter en message privé plutôt que sur ce fil, qui est initialement celui d'ignatus et que visiblement il voudrait voir reprendre son sujet d'origine, ce qui est tout à fait compréhensible.

    Je pense, ignatus, que ce que Lupulus essaie d'expliquer, c'est que tu ne peux pas avancer très loin sans travailler plus. Il est tout à fait compréhensible que tu n'aies pas le temps, la force, ou quelle que soit ta raison de ne pas le faire, de t'investir autant, et il ne faut pas entendre dans ce que te dit Lupulus une injonction à la faire, ni même une critique de ne pas le faire.

    C'est simplement un conseil pour toi, au sens suivant, que je vais essayer de détailler: tu ne dois pas être étranger aux Pablo-ries qui ont lieu sur ce forum, et j'ose espérer que tu en vois le ridicule. Tu n'es pas du tout dans la situation de Pablo, ne t'inquiète pas, mais le conseil de Lupulus est là pour que tu t'en éloignes, et n'aies pas le malheur d'y tomber, c'est tout. En effet, si tu cherches à comprendre, ou même avoir un aperçu, de mathématiques très avancées (les catégories dérivées c'est déjà relativement avancé, l'homologie cyclique, je pense qu'on peut dire qu'on est sur du très avancé), la seule manière de le faire, malheureusement (c'est la "malédiction" de notre beau domaine), c'est d'avoir des fondations solides.
    Je répète : même pour n'avoir qu'un aperçu de ces choses avancées, tu dois avoir des fondations solides.

    Là où mon conseil diffère un peu de celui de Lupulus, c'est sur ce que veut dire "fondations solides". Je ne suis pas convaincu qu'il faille beaucoup d'exemples concrets, mais Lupulus (et axexe semblent le penser) - c'est une position très raisonnable et ce fil n'est pas l'endroit pour en discuter.
    Toujours est-il qu'on a l'impression, au vu de certaines questions ou certaines manières de formuler certaines choses, que tu n'as pas ces fondations solides - ni en mon sens, ni en celui de Lupulus/axexe. Tu as très certainement des connaissances en maths, mais cela va être compliqué de comprendre ne serait-ce que la motivation de choses comme les catégories dérivées si le produit tensoriel n'est pas un automatisme pour toi.
    Alors maintenant, que tu aies acquis cet automatisme via des exemples (Lupulus/axexe : représentations, espaces vectoriels, que sais-je) ou via de la théorie "pure", ce n'est pas la question - le point est qu'il faut qu'il soit là.


    Bref, la conclusion de ce résumé est la suivante: nous (en tout cas je, et, contrairement à ce que tu as laissé penser, peut-être sous le coup de la colère, c'est pour ça que je recommande encore le calme, très certainement Lupulus aussi) serions ravis de t'aider à comprendre, ou même avoir un aperçu des motivations sous-jacentes et à la théorie des catégories dérivées. Mais il faut que tu comprennes que pour ça, si des objets comme le produit tensoriel ne sont pas clairs pour toi, ça va être très compliqué, voire impossible.

    cf par exemple mon premier post dans ce fil, où j'ai essayé de donner une motivation basée sur le produit tensoriel - toutes les motivations seront d'un accabit similaire, avec des outils de base qu'il faut comprendre, vraiment comprendre, pour avoir ne serait-ce qu'un aperçu de la motivation, qui dépasse la vague formule "les choses dans $A$ ne se comportent pas bien, donc on passe dans $D(A)$ pour qu'elles se comportent bien", ou "on a besoin de $D(A)$ même pour avoir des informations sur $A$".

    Je vais m'arrêter là, j'espère que ce post clôturera les posts de ce genre dans ce fil et qu'on pourra reprendre sur ton sujet, et que tu nous auras entendu, et que tout le monde sera calmé. A partir de là, on peut reprendre : le poly de Schapira est certainement très bien, et tu as aussi un premier aperçu dans mon premier post dans ce fil.

    Si, à partir de là, tu as des questions, par exemple à propos du poly de Schapira, ou de la page wikipedia, il faut les poser et nous nous ferons un plaisir de t'aider - il faut juste que ça aille dans les deux sens, i.e. que tu travailles aussi au moins les fondations, pour qu'on puisse te donner des réponses qui t'apporteront quelque chose et qui ne seront pas de vagues banalités.
  • ignatus,
    je suis désolé d'avoir fait dévié ton fil. J'ai plusieurs fois apporté des informations mathématiques (et c'est toi-même qui a mentionné la topologie étale par exemple dans un autre fil -dont le principal but est de faire de la cohomologie étale, qui utilise les six foncteurs...-) sur le fil, j'espère qu'elles te seront utiles. Je me permets juste de rajouter un dernier article qui est très bon pour l'intuition : https://arxiv.org/pdf/math/0001045.pdf
  • Désolé également.

    J'ai étudié avec peine les catégories dérivées. Enfin comme toute catégorie dérivée est triangulée, j'avais trouvé un document qui m'a bien aidé pour saisir quelques idées.

    Je te le joins. S'il est trop facile ou trop difficile, désolé.
  • Bonsoir,

    j'ai eu besoin de marquer une coupure, ça fait du bien !!

    Je suis content que le climat semble plus apaisé, et je remercie chaleureusement Maxtimax pour sa sagesse : je suis vraiment époustouflé, non seulement pour ton intelligence, mais en plus, ton humilité et ta gentillesse. C'est extrêmement rare pour devoir être souligné.

    Maintenant, je reconnais que j'ai donné le bâton pour me faire battre, et je me doutais que tous ces titres de fils "racoleurs" allaient me valoir des ennuis, pour la simple et bonne raison que je n'ai jamais prétendu avoir le niveau mathématique suffisant pour traiter de ces sujets, et qu'on me le ferait vite remarquer...

    Sinon, je pense avoir péché principalement sur deux choses :
    1) sur le fond : j'ai effectivement trop demandé au forum, et je suis d'accord avec axexe pour reconnaître que celui-ci n'a pas vocation à se substituer à un professeur particulier. Pour fixer les idées sur ma personne, je révèle que je suis un "jeune" quadragénaire qui est tombé gravement malade en prépas, et qui malgré une scolarité chaotique, a quand même réussi à obtenir un M1 de maths, un M2 de philosophie, et une agrégation interne de mathématiques, sans être capable de travailler. Avec l'âge, mes soucis de santé semblent s'amoindrir, et mon envie de faire des maths grandir, mais je reste toujours handicapé par mes capacités de travail.
    2) sur la forme : rétrospectivement, je pense qu'il est parfaitement stupide et inutilement provocant d'ouvrir un fil au nom ronflant de "homologie cyclique", ou bien d'autres encore. Je peux parfaitement avoir comme objectif personnel d'avoir une idée de ce dont il s'agit, par exemple parce que j'ai visionné une vidéo d'Alain Connes sur le sujet, mais il vaut mieux le garder pour soi, et poser une question bien plus précise sur une notion qui me gêne pour atteindre mon graal. Autrement dit, effectuer un travail de balisage, et cibler là où ça fait mal. Après, il m'est arrivé d'ouvrir des fils uniquement parce qu'une question naïve me traversait l'esprit, et qu'il fallait bien que je la communique...

    Je remercie tous les intervenants qui m'ont transmis des documents. Je propose de fermer ce fil, mais de travailler sur le premier document qui m'a été transmis, à savoir le poly de Schapira, et de ne revenir qu'avec des questions sur ce poly.

    ignatus.
  • Le problème sur un forum c'est qu'on ne sait pas à qui on parle.
    Tu aurais été étudiant de L3, cela m'aurait plus gêné.
    Là, c'est différent et ma réaction n'était pas adaptée à ton cas. Je m'en excuse encore.

    [small]Par contre la méthode pour apprendre des mathématiques compliquées peut être bonne à prendre, c'est mon directeur de thèse qui me l'a donnée (ordonnée :-D), d'une rencontre par semaine on est vite passé à une rencontre par mois...[/small]

    Tu t'attaques à des mathématiques difficiles mais si tu as un but ou fait ça juste par plaisir je trouve ça beau.
    Bonne soirée Ignatus
  • Bonsoir,
    je reprends ce message de Maxtimax.

    Tu dis d'abord que mon passage sur les isomorphismes n'a aucun sens, je ne comprends pas : c'est ma traduction presque mot à mot de wikipédia...

    Ensuite, je crois avoir compris ton exemple simple de produit tensoriel (enfin, l'aspect technique). Mais j'ai l'impression que tu passes sous silence l'essentiel : que l'on ait besoin de la catégorie dérivée parce que la tensorisation d'une suite exacte ne l'est pas me semble évident, du moins pour baptiser l'espace dans lequel vit le produit tensoriel dérivé. Mais la question importante à laquelle tu ne réponds pas et que j'ai posée est toujours : quelle information apporte la suite dérivée pour comprendre l'objet de départ ? Ce que tu dis, c'est que justement, ça permet de comprendre ton pi0 de départ, ce dont je me doutais bien. Mais comment ?

    Bon, je n'ai pas pu m'empêcher de te répondre, après avoir lu ton message. Dis-moi si j'ai mal compris ton propos. Mais ne sois pas trop précis non plus, car je me suis engagé à lire le poly de Schapira, et je ne veux pas rompre le contrat. À mon avis, tu devrais me renvoyer simplement aux passages qui te semblent reliés, ou bien me donner des mots-clé.
    ignatus.

    [Restons dans la discussion que tu as ouverte sur le sujet. AD]
  • En géométrie algébrique, on définit l'intersection de $Spec(R)$ et $Spec(T)$ (affines dans $Spec(S)$) comme $\text{Spec} (R \otimes_S T)$.

    Seulement ce produit ne contient pas toujours les informations qu'on veut. Par exemple, si $D$ est une courbe dans une surface $X$, on voudrait donner un sens à $D^2$. Avec la définition "naïve" on perd de l'information (quelle informations exactement ? Pour comprendre ça il faut comprendre un peu de théorie de l'intersection. Oui c'est technique mais n'importe quelle application sera un peu technique. Il y a un très bon livre dessus, très accessible : https://scholar.harvard.edu/files/joeharris/files/000-final-3264.pdf )

    En prenant le produit tensoriel dérivé, on peut retrouver cette information perdue. Par exemple, les fameux Tor dont Max parlent apparaissent dans une formule de Serre pour calculer des nombres d'intersection : https://ncatlab.org/nlab/show/Serre+intersection+formula

    C'est donc un exemple de comment "mieux comprendre" un objet, ici mieux comprendre comment l'intersecter avec autre chose. Cet exemple précis ($D$ un diviseur et $X$ une surface) est d'ailleurs discuté informellement dans le dernier PDF que j'ai mis sur ce fil.

    J'ajoute que dans la plupart des cas, le produit tensoriel "normal" est très bien et contient toute l'informations qu'on veut (par exemple si $Spec(T)$ et $Spec(R)$ sont transverses). Mais dans beaucoup de cas, on veut calculer $D^2$ et dans ce cas là la "bonne" réponse n'est de toute façon pas donnée par le produit tensoriel usuel

    .
  • La suite exacte longue te dit que le noyau de $I\otimes_R I\to I^2$ est l'image d'une application partant de $\mathrm{Tor}^R_1(I, R/I)$.
    Si tu as des informations sur ce personnage ou sur cette application, tu vas pouvoir en tirer des informations sur la question initiale. Maintenant, ce tor c'est $H_1(I\otimes_R^L R/I)$ donc des informations sur ce produit tensoriel dérivé vont te donner des informations sur le tor.

    Pour wikipedia, non, enfin ta traduction n'est pas fidèle. Il n'est pas question de "machin a les isomorphismes", mais de "dans telle catégorie, tels trucs deviennent des isomorphismes". Dans la catégorie dérivée, les quasi-isomorphismes deviennent des isomorphismes, dans la catégorie homotopique, les équivalences d'homotopie (qui ne sont pas des isomorphismes homotopes à 0) deviennent des isomorphismes
  • Bonjour Maxtimax,

    je réponds rapidement.
    Pour ce qui est de la traduction de wikipedia, je pense que tu as raison, il faut être très précis avec les termes, et en voulant aussi parler plus intuitivement, il est fort possible que j'ai écrit des non-sens. J'essaierai de les comprendre plus tard.

    Pour ton explication de Tor, je ne comprends toujours pas, mais ce n'est pas grave. Je comprends bien que pour comprendre le noyau, tu aies besoin de Tor1. Mais pour comprendre Tor1, tu as besoin de Tor2, etc...

    Après, j'ai l'impression que c'est vraiment un problème d'algèbre homologique. Dans le cadre de l'homologie simpliciale, je comprends ce qu'apportent les groupes d'homologie comme information sur la variété de départ. Mais dans le cadre général, non.

    Disons, pour situer les choses, qu'au niveau connaissance mathématique, je pense comprendre l'homologie simpliciale et ce qu'elle apporte comme information. Mais comme je n'ai pas pratiqué d'autres types d'homologie, je ne vois pas comment, dans un cadre général, on peut extraire une information d'une suite de groupes d'homologie sur un objet de départ.

    ignatus.
  • Bah déja dans le cadre de l'homologie simpliciale tu vois que la tensorisation pose problème.
    Essaye de calculer l'homologie de l'espace projectif réel à coefficient dans $\mathbb{Z}$, puis dans $\mathbb{F}_2$.
    Tu devrais te rendre compte d'un certains nombres de choses "étranges", par exemple quand tu compares au cas de l'espace projectif complexe.
  • Oh !!!! Je viens de me rendre compte que je n'ai absolument rien compris !!! J'ai confondu le produit tensoriel dérivé avec la tensorisation d'une suite exacte... Je viens de m'en rendre compte en retournant sur la page wikipédia du produit tensoriel dérivé.

    Je suis vraiment désolé Maxtimax, je n'ai rien compris à tes messages en fait. Il faut apparemment comprendre ce qu'est un smash product, objet que je ne connais pas...

    Désolé.

    ignatus.
  • Non le smash produit n'est pas nécessaire pour ça, c'est un objet plus sophistiqué
  • Bon, je vais arrêter pour le moment.

    Après la digression, et mon énervement d'hier, j'ai perdu le fil... Il faut que je reprenne ça calmement, en m'aidant du poly de Schapira.

    Je répondrai plus tard à Lupulus et NoName que je remercie pour leur contribution. Pour le moment, il me faut mettre de l'ordre dans la maison...

    ignatus.
  • Ok.
    Juste avant que tu partes, le poly dont du parles est Categories and Homological Algebra je suppose?

    Merci.
  • Bonsoir axexe,

    je suis content que tu me donnes l'occasion de te remercier pour ton gentil message d'hier soir.
    Je voulais clôturer ce fil, et en commencer un autre, c'est pourquoi je ne t'ai pas répondu. Finalement, la modération m'a imposé de rester sur celui-ci, ce que je comprends aisément. Donc ton message m'a fait plaisir, et je pense que tu n'as pas à t'excuser de m'avoir pris pour un tout jeune étudiant à qui prodiguer des conseils pour apprendre à devenir mathématicien. Si j'ai donné cette impression, c'est que j'ai vraiment exagéré, mes difficultés ne devant pas tout excuser. Au contraire, je devrais m'appuyer sur mon besoin de communiquer en maths, et la visibilité publique que donne le forum pour "soigner" mes interventions ici, c'est-à-dire me mettre au travail...

    Sinon, pour revenir à ta question, oui je compte utiliser ce poly en priorité. Il y a en plus des exercices, ce sera un bon moyen pour moi de poser des questions ici et de vérifier que j'arrive un peu à manipuler ces objets. Les notes de cours de Mathieu Anel sont aussi très intéressantes, et je pense que je les travaillerai aussi. J'aime bien Mathieu Anel, car il semble avoir beaucoup de centres d'intérêt, et à travers les quelques petits trucs que j'ai lu de lui, j'ai trouvé qu'il avait une façon de voir originale, que j'apprécie. Il possède une véritable approche personnelle.

    ignatus.
  • Pas besoin de me remercier (c'est gentil B-).

    Je t'aiderai volontiers quand tu commenceras mais le problème est :
    - que je suis une buse en Latex,
    - Maxime est rapide à tout points de vue,
    - ses remarques sont souvent meilleures que les miennes (j'ai parfois l'impression qu'il a 60 ans lol) et elle m'aident parfois... (dans tous les domaines).
    Mais s'il a une panne internet, je ne serai pas loin.
    À bientôt.
  • Bonsoir,

    j'ai réussi à obtenir une définition de la catégorie dérivée qui tient en une ligne : c'est la localisation de la catégorie des complexes de chaînes en les quasi-isomorphismes.

    Je dois encore travailler pour bien comprendre cette notion de localisation. Mais une fois cela acquis, la définition que donne wikipedia de produit tensoriel dérivé devient accessible.

    ignatus.
  • Daniel Bertrand (comme Jean François Dat, Saint-Raymond) a une approche un peu anglo-saxonne dans ses polycopiés, où l'on y trouve beaucoup de phrases pour expliquer des définitions. Le mixte idéal est Gostiaux pour moi, car il y a les deux...

    Bref, je suivais un cours avec Bertrand (s'il pouvait mettre tout ce qu'il dit en cours dans ses poly...) et à la fin de l'heure, je vais lui poser une question. La discussion a duré 40 minutes lol.
    On est arrivé sur la localisation je ne sais comment car le cours traitait de géométrie projective.
    Là, ses yeux se sont emervellés et il m'a dit :

    "La localisation est à voir comme la dérivation, c'est un phénomène magnifique."

    Bon, sur le coup, je n'ai rien compris, le soir même j'ai appris la localisation et je n'ai pas vue le rapprochement.
    Plus tard, si...
  • Bonjour axexe,

    j'ai tardé à te répondre, car je n'ai pas vraiment compris ton message. Je lis le poly Schapira, à partir du premier chapitre, mais je me sers aussi d'autres supports de cours, autour de la topologie algébrique, et d'une initiation à l'homotopie moderne.
    Je ne comprends donc pas vraiment ce lien entre dérivation et localisation, si ce n'est que je crois me souvenir que l'on parlait d'une catégorie d'homotopie à propos de la catégorie d'un complexe de chaînes, munie d'une relation d'homotopie définie à partir des opérateurs "bords", qu'on peut aussi appeler des opérateurs de dérivation. Et effectivement, deux morphismes de chaînes sont dit homotopes s'ils vérifient une certaine relation, qui rappelle étrangement la règle de dérivation d'un produit. Je ne me souviens plus de ce que l'on obtient si l'on essaie d'inverser ces morphismes...

    ignatus.
  • Je me suis mal exprimé.

    Quand je parlais de dérivation, c'était sa définition en analyse. Enfin même pas sa définition, mais son but. En première année de prépa, tu as toute une panoplies d'objets pour étudier une fonction au voisinage d'un point, la dérivation en fait partie.

    Pour vulgariser, "la localisation est en algèbre ce qui est l'étude d'une fonction au voisinage d'un point en analyse".
    Désolé de t'avoir embrouiller.
    C'est plus une visualisation en géométrie algebrique du pocédé de localistion par rapport un une image qu'on connait déjà.

    Je sais pas si j'ai été clair et si tu veux un truc plus formel.
  • Oui, cela me revient, tu as raison. J'ai déjà lu quelque part que la localisation était un moyen pour étudier "localement" une fonction, comme en géométrie birationnelle je crois, lorsqu'il y a des points singuliers. Je n'ai jamais compris ce que cela voulait dire.

    C'est un autre sujet, mais cela pourrait être intéressant de voir comment la localisation s'est imposée en algèbre, et si la notion de localisation de catégorie regroupe toutes ces différentes manifestations, lorsqu'on prend des morphismes particuliers. Peut-être que je pourrais ouvrir un fil sur ça...

    ignatus.
  • Bonjour,

    je viens d'écouter cette vidéo. Je l'ai trouvée intéressante, même si j'ai lâché prise pour les dernières minutes.

    ignatus.
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