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Continuité du champ de contraintes

Bonjour à tous
Je requiers votre aide pour le problème suivant.

Soient deux pièces sortant de la même unité de production. Elles possèdent le même matériau et subissent un chargement mécanique identique. On se munit des hypothèses suivantes.
  • Le matériau est continu, isotrope, élastique.
  • Le champ de température est hétérogène mais continu et stationnaire.
  • Les perturbations sont petites.
  • Le régime est permanent (stationnaire ou sinusoïdal forcé).
Peut-on affirmer que la proche ressemblance entre les géométries des deux pièces entraîne une proche ressemblance de leurs champs de contraintes, sous le même chargement mécanique ?
Autrement dit, si deux domaines sont homéomorphes alors les champs de contraintes associés le sont-ils aussi ?

En vous remerciant par avance,
Siuol

Réponses

  • Je ne comprends pas bien la question (qui me semble-t-il n'a rien à voir avec la "continuité").

    Je fais l'hypothèse que lorsque tu parles de "proche ressemblance", tu parles en fait de pièces de "Part Number" identique. Le "Part Number" caractérise une "définition" (par opposition au "Serial Number", qui caractérise le numéro d'ordre de la pièce dans la production, pour un "Part Number" donné.

    Si la réponse à ta question était négative, alors cela invaliderait tous les calculs faits, par exemple en aéronautique, pour démontrer qu'une certaine définition de pièce supportera les contraintes réglementaires prévues (dans le cas où l'autorité de certification (EASA en l'espèce) (ce n'est pas systématique), accepte une démonstration par calcul plutôt que par essai.

    (sachant que si l'autorité avait demandé un essai, celui-ci ne prouverait rien non plus ...).

    Ce serait donc fâcheux, très fâcheux, car on ne saurait plus comment autoriser des avions à voler .....
  • Bonjour Umrk et merci pour ta réponse.

    Par continuité, j'essayais de signifier que plus les écarts géométriques entre deux pièces de même Part Number sont petits, plus les écarts en tout point de chacun des champs de contraintes associés à ces pièces vont être petits. Ou plutôt : on ne peut pas obtenir deux champs de contraintes radicalement "différents" si les géométries réelles de deux pièces de même P/N sont "proches" (à chargement méca identique).

    Je n'oserais pas remettre en question la pertinence des calculs effectués pour le compte de l'industrie aéronautique. Je cherche simplement un cadre mathématique pour comprendre pourquoi et dans quelle mesure on observe que les solutions aux EDP de la mécanique des milieux continus (contraintes en l'occurence) dépendent de façon continue de la "forme" du domaine sur lequel ces solutions sont calculées.

    J'ai conscience que les termes "différents", "proches", "ressemblants" ou encore "forme" ne sont pas des plus précis ; c'est que je ne maîtrise pas forcément le champ sémantique le plus approprié mathématiquement parlant. Je tenterai un reformulation si ces approximations posent un souci de compréhension.

    Je te remercie Umrk pour cette mise au point sur la différence entre P/N et S/N que je ne connaissais pas. J'en apprends tous les jours un peu plus sur le vocabulaire industriel.

    Bonne journée,

    Siuol
  • Ah je vois mieux ce que tu cherches.

    Tout ce qu'on peut dire qualitativement, c'est que s'il y a "moins de matière", la pièce supportera moins bien la contrainte.

    Toutefois, l'endroit où se trouvait la matière "ôtée" importe, et en aéronautique précisément, pour un matériau donné, et une fonctionnalité mécanique à assurer, le but du jeu est d'obtenir la plus grande résistance possible à la contrainte, avec le moins de matière possible (donc de poids), ce qui peut conduire à certaines formes évidées/creuses torturées, plus coûteuses à produire, mais qui peuvent néanmoins se justifier.

    On ne connaît pas à ma connaissance de moyens d'accéder analytiquement à cet optimum géométrique, autres que par des calculs itératifs quasi-empiriques.
  • J'ai du mal à trouver un fil conducteur dans ce post, car il y a en fait plusieurs sujets qui sont sous jacents (et qui mériteraient d'être abordés distinctement ; quelques exemples:
    1. 2 pièces strictement identiques dont les matériaux sont exactement les mêmes (y compris d'un point de vue métallurgique), chargées de façon identique se comportement exactement de la même façon
    2. toute perturbation (parfois minime) du type rayure, amincissement local par exemple peut radicalement changer la tenue mécanique de la pièce (fissuration, flambage entre autres choses )
    3. la notion d'EDP renvoie au concept d'éléments finis (pas que), de maillage et donc de solution approchée; un maillage grossier donnera un résultat différent de celui d'un maillage plus fin, particulièrement pour des chargements en dehors du plan de l'élément, pour des surfaces gauches, dans les courbures comme des congés ou des trous, etc
    4. la notion de matériau est aussi cruciale: des matériaux forgées, corroyés, de fonderie (avec ses défauts) n'auront pas les mêmes résistances, et donc in fine la pièce finie le même volume, la même masse, et ainsi de suite
    5. il est un peu cavalier de parler de "méthode quasi-empirique" en optimisation: au travers d'un processus itératif, on cherche bien à minimiser (ou maximiser) une fonction objectif définie par l'opérateur (poids, un rayon, une épaisseur, etc) en faisant appel à toute une palette de méthodes numériques et mathématiques

    Je passe sur les notions d’échantillonnage représentatif pour les essais, d'environnement, sur les coefficients de sécurité ...

    Le recours aux calculs est aujourd'hui systématique pour les nouveaux développements, avec des corrélations (et validations) avec des essais, particulièrement le mode du transport (automobile comme aéronautique) ; les simulations diminuent le recours aux tests, mais ne les remplacent pas totalement (en tant mieux).

    Bref, il y a matière à moulte débats, à condition d'en définir les contours
  • Bon, tous ces points sont pertinents, mais je n'ai pas envie de développer....

    Je me concentre sur ce que je connais le mieux (parce que je l'ai vécu) : l'alternative calcul versus essais en matière d'essais de certification (même si ce n'est pas ce qui intéresse la majorité des lecteurs de ce site).

    Comme déjà dit, c'est l'autorité qui tranche, lorsque le règlement ne le fait pas explicitement, l'industriel préférant le calcul, qui est moins coûteux.

    Il faut comprendre que les essais de certification font subir à l'objet des sollicitations qui iront bien au-delà de ce qu'il connaîtra dans sa "vie opérationnelle", et qui l'amènent parfois (c'est parfois exigé) jusqu'à la rupture (essai "destructif").

    ça peut donc coûter cher, et l'objet est donc en conséquence inutilisable après coup.

    Par exemple, j'ai assisté à la cuisson d'un calculateur embarqué (d'une valeur en Euros à 5 chiffres ..), dont le but était de s'assurer qu'il mourrait , au-delà de la température réglementaire (c'est inévitable), mais "gracefully" (= c'est à dire sans donner d'ordres fous (amenant le moteur à la survitesse, par exemple)). (c'est pour moi un bon exemple, car typiquement on aurait du mal à convaincre l'autorité de ce comportement sur la seule base de calculs, quels qu'ils soient ...).

    Ces essais de certification n'ont rien à voir avec les essais que l'on fait subir à TOUTES les pièces d'une définition donnée à l'issue (ou en cours) de production, et qui ont plutôt pour but de s'assurer que le produit est bien conforme à sa définition : celle qui a été soumise par la "Navigabilité" (le service de l'industriel qui gère ceci) à l'autorité de certification.

    Pendant toute la durée de vie du produit (et un avion ça vit longtemps ...), le service Navigabilité va soumettre à l'autorité les plus minimes changements proposés à la définition (améliorations, ou, (plus rarement), correction d'erreurs mineures, etc ...), en rebalayant tous les points du règlement, et en apportant pour chacun l'argumentaire comme quoi, soit 1) la modification proposée n'affecte en rien ce point du règlement; ou 2) la modification proposée constitue un progrès par rapport à la définition antérieure. La modification ne pourra devenir effective qu'après l'approbation de l'autorité. (ça occupe des gens, croyez moi ...).

    Bien entendu, ça s'applique aussi au logiciel, mais là il me faudrait des dizaines de messages pour en parler ....
  • oui il y aurait matière à débats et échanges; rappelons que les calculs ont plusieurs objectifs, dont celui d'arriver plus vite et à moindre coût à la bonne définition (du premier coup si possible).

    Un exemple célèbre dans le milieu aéronautique pour lequel un moteur et sa nacelle sont sacrifiés (et il y a plus de 5 chiffres en bas de la facture) : la rupture d'une aube et ses conséquences (voir cette petite video)).
  • Oui .. il y a plusieurs essais de ce type, certains avec des barreaux de glace (ça c'est facile de se les procurer) , d'autres avec des oiseaux, de la taille réglementaire (oies du Canada, les plus dangereuses, ...), avec leurs plumes, bien entendu ! (et après avoir imaginé un dispositif permettant de les propulser à la bonne vitesse et au bon débit (rien d'évident ...).
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