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La beauté du système de racines de $ E_8 $

Bonsoir à tous,

Sur le lien suivant, http://www.madore.org/~david/weblog/d.2012-01-26.1988.html#d.2012-01-26.1988 , à gauche de la page, lorsqu'elle s'ouvre, il y a un dessin assez étrange que je n'arrive pas à déchiffrer.
Est ce que ce dessin représente le diagramme de Dynkin correspondant au groupe de Lie exceptionnel $ E_8 $ ?
Si oui, il a la forme d'un polygone. Est-ce que le fait, que ce diagramme ait la forme d'un polygone, a-t-il une signification géométrique par rapport au groupe de Lie, $ E_8 $ ?

Merci d'avance.

Réponses

  • Le diagramme de Dynkin de $E_8$ possède 8 sommets ...

    Ce dessin est obtenu en projetant le système de raçines sur le plan de Coxeter. Les points de ce diagrammes sont des valeurs propres pour l'action adjointe de $E_8$ sur lui-même. Ceci devrait être expliqué dans n'importe quel cours de base sur les algèbres de Lie
  • Merci pour ces précisions Lupulus.
    Qu'est ce qu'un plan de Coxeter ?
    Et comment obtenir le système de racines de $ E_8 $ ?
    Merci d'avance.
  • Pour le système de racines de $ E_8 $, c'est écrit ici, https://fr.wikipedia.org/wiki/E8_(mathématiques)
    Qu'est ce qu'alors, un plan de Coxeter ?
    Merci.
  • Le système de racine de $E_8$ sera très compliqué à obtenir (il y a 248 éléments) à la main. Il y a des tables dans Bourbaki. Si tu veux l'obtenir à la main, il faut jouer au "jeu de Kostant" en partant avec le diagramme de Dynkin de $E_8$. Tu peux regarder sur google ce que c'est.

    Pour le plan de Coxeter : as tu regardé google ? https://lmgtfy.app/?q=plan+de+coxeter
  • Oui, j'ai cherché dans google, et google, au lieu de m'envoyer vers la notion de plan de Coxeter, m'envoie vers la notion de graphe de Coxeter. Ce n'est pas la meme chose.
    Qu'est ce, alors, un plan de Coxeter ? Quelle est sa définition ? :-)
  • Lupulus a écrit:
    Ce dessin est obtenu en projetant le système de raçines sur le plan de Coxeter. Les points de ce diagrammes sont des valeurs propres pour l'action adjointe de $E_8$ sur lui-même. Ceci devrait être expliqué dans n'importe quel cours de base sur les algèbres de Lie

    Lupulus,
    Est ce que tu peux me dire comment on calcule explicitement les valeurs propres pour l'action adjointe de $ E_8 $ sur lui meme ? ... Histoire de me familiariser un peu par rapport au contexte dans lequel se situe ces notions.
    Merci d'avance.
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