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Inversion géométrique

Bonjour à tous,

Je souhaiterais savoir à quelle grande époque (Antiquité, Moyen-Âge, Renaissance) on a mis en évidence la propriété de l'inversion géométrique qui fait correspondre un cercle à une droite et inversement.

Merci pour votre réponse et vos éventuelles précisions.

Réponses

  • Début du XIXème.
    Voir Le rapport sur les progrès de la géométrie de Michel Chasles (1870), page 141 et suivantes. Chasles désignait l'inversion sous le nom de transformation par rayons réciproques.
  • Merci Ludwig pour votre réponse bien que je suis très surpris de la réponse. De mon côté j'aurais parié sur l'Antiquité. D'ailleurs Chasles souligne qu'il est évident, dans le cadre de la projection stéréographique, que le produit des distances Oa et Oa' est constant. Or les propriétés de la projection stéréographique ont pu être étudiées dès l'Antiquité mais plus sûrement au Moyen-Âge car elle était utilisée pour la réalisation des astrolabes.

    Toutefois ma question est peut-être mal formulée : j'ai utilisée la notion d'inversion qui est peut être une généralisation moderne. Ce que je voulais savoir c'est à quelle époque on a pu associer un cercle à une droite en utilisant un produit de distance constant.
  • Je dirais que la réponse est la même : début du XIX (au passage Coxeter & Greitzer dans leur livre Redécouvrons la géométrie attribuent l'idée de cette transformation à L.J. Magnus en 1831).
    Je ne crois pas que cette idée d'association est pointée le bout de son nez dès l'Antiquité.

    edit : Cela dit la projection stéréographique a été étudiée oui dès l'Antiquité (Ptolémée)
    je crois qu'il faut fouiller davantage.

    La consultation de cet article est-elle libre ? Je n'arrive pas à y accéder
    LES DÉBUTS DE LA PROJECTION STÉRÉOGRAPHIQUE: CONCEPTION ET PRINCIPES
    Philippe Abgrall
    Cambridge
  • Merci Ludwig pour ces précisions complémentaires et les références associées.

    Dommage : j’essaie d’expliquer simplement par la géométrie comment obtenir le tracé d’un instrument médiéval et l’inversion m’a donné un raccourci très intéressant. Cette explication aurait pu aussi donner une hypothèse plausible sur la façon dont il a été imaginé à condition que les propriétés de l’inversion soient connues et bien assimilées à cette époque…

    Cordiales salutations
  • Quel instrument ? S'il s'agit de l'astrolabe il me semble que la façon dont il a été imaginé et construit est parfaitement connu
  • Non, il ne s’agit pas de face principale de l’astrolabe qui repose sur la projection stéréographique dont nous avons parlé, mais d’un réseau d’arcs de cercle qui peut toutefois se trouver sur son dos. Ce tracé a été principalement utilisé sur un instrument indépendant, le quadrant ancien. Il permet d’obtenir l’heure inégale ou antique, encore utilisée au Moyen-Âge, à partir de la hauteur du Soleil. On peut en trouver une gravure ici :
    https://www.e-rara.ch/zut/content/zoom/2677415
  • Ludwig, j'ai mis en ligne le début de la petite étude pour laquelle j'ai posé ma question. Elle permettra de répondre plus précisément à la votre. Vous la trouverez ici :
    http://gnomonique.fr/forum/viewtopic.php?f=5&t=121
  • Voir l'article : Boyd C. Patterson, The Origins of the Geometric Principle of Inversion, Isis, Volume 19, Number 1, Apr., 1933, p. 154-180 https://www.journals.uchicago.edu/doi/10.1086/346725?mobileUi=0 qui relate les diverses origines de l'inversion. Il dit que probablement aucune autre découverte n'a été aussi fréquemment faite et refaite. Il ne mentionne pas la projection stéréographique avant le début du XIXème siècle. Je pensais que cette projection avait été utilisée plus tôt en cartographie, mais je n'en suis pas certain. Je joins le résumé qu'il donne.
    Bonne soirée.
    Fr. Ch.
  • Merci Chaurien pour ces précisions, la référence et l’extrait associé.

    Je dois me rendre à l’évidence : l’inversion géométrique est une notion moderne. J’en tiendrai compte dans la suite de ma petite étude.

    Bonne soirée à vous
  • En se débrouillant, on peut obtenir le texte intégral de l'article de Patterson.
  • Ah bon, comment ? Un petit indice ?
  • Bonne Nuit à Tous
    Je suppose que les loxodromies de la sphère étaient connues dès le début des voyages transocéaniques.
    Et la description géométrique des loxodromies se fait naturellement via la projection stéréographique puisqu'elles correspondent alors à des spirales logarithmiques.
    Je pense donc qu'il faudrait chercher de ce côté là pour voir si on utilisait l'inversion (sans le savoir) avant le 19ème siècle.
    Amicalement
    [small]p[/small]appus
  • John Collins (1625-1683) suggéra nombre de problèmes de navigation, dont certains liés à la spirale logarithmique, à des mathématiciens comme Wallis, Barrow, Gregorie. Voir La longitude et les mathématiques dans les premières années de la Royal Society, in Le calcul des longitudes, ouvrage collectif sorti en 2002. On peut essayer de chercher du côté de ces mathématiciens-là.
    Et aussi trouver les deux articles que Jacques Bernouilli écrivit en 1691 et 1692 sur cette courbe.
    En attendant : Jacques Bernouilli et la géométrie différentielle de Hans-Christoph Im Hof.
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