Nombre sans zéro
dans Arithmétique
Choisissons un entier non multiple de $10$, tel que la somme de ses chiffres soit $9$. Divisons le par $9$. On constate que le résultat s'écrit sans le chiffre $0$. Un exemple :
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Réponses
Rappelons que dans tout nombre entier, l’écriture décimale contient le chiffre zéro...et même une infinité.
Certes c’est une taquinerie mais avec un fond de vérité.
@Gilles la somme des chiffres de $909$ n'est pas $9$
Si $n$ est un entier non multiple de 10, contenant le chiffre 0, on peut le découper entre la partie à gauche du 0 (notée g) et celle à droite du 0 (notée d).
Quand on multiplie n par 9, on multiplie g et d par 9 ... et on concatène les résultats. Il n'y a pas chevauchement, pas de retenue suffisante pour que 9d 'empiette' sur le calcul de 9g.
La somme des chiffres de 9d donne 9 ou un multiple de 9 ; idem pour 9g.
La somme des chiffres de 9n vaut donc au moins 18.
Donc la somme des chiffres de 9n ne peut pas donner n, dès que n contient le chiffre 0 (et n non multiple de 10).
Ma preuve reposait sur le fait que les chiffres de $n/9$ étaient placés en ordre croissant.
Voir http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?9,534759,1147355#msg-1147355
Cela n'est pas valable pour la division par $7$ : $11221=7\times 1603$.
La preuve par 9 marche dans toutes les bases... ça suffit pour démontrer la propriété.
Si la somme des chiffres d'un nombre est 3, sa division par 3 n'aura des zéros éventuels qu'à droite.
Soit $b$ un entier supérieur ou égal à $2$, soit $n$ un entier, dont la somme des chiffres (écrit en base $b$) donne $2b-2$.
Alors $n$ est divisible par $b-1$, et les éventuels $0$ de $n/(b-1)$ (toujours écrit en base $b$) sont consécutifs.