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Nombre de premiers jumeaux inférieurs à n

Le théorème des nombres premiers permet de démontrer que la quantité de nombres premiers inférieurs ou égaux à n est équivalente à n/ln(n) lorsque n tend vers +l'infini. On se propose alors de définir une probabilité q pour qu'un impair pris au hasard dans l'intervalle [1, n] soit un nombre premier puis de poser q = 2/ln(n) avec n >> 1. Ainsi définie cette probabilité permet de calculer le nombre moyen de nombres premiers dans l'intervalle [1, n] soit : Nmoy = (n/2)*(2/ln(n)) = n/ln(n) ce qui est bien conforme à ce que l'on en sait...

À l'évidence ce n'est pas une approche formelle mais une modélisation puisque l'on conçoit bien que la probabilité de rencontrer un nombre premier dans le voisinage de 1 est plus forte qu'au voisinage de n quand n est grand.

Ainsi, dans ce cadre la probabilité pour que deux impairs consécutifs soient premiers vaudrait q2 soit 4/ln(n)2 or dans l'intervalle [1, n] il y a (n/2) impairs consécutifs possibles on peut donc espérer (n/2)*4/ln(n)2 couples de premiers jumeaux soit : 2n/ln(n)2 mais on comprend que c'est là un maximum théorique.

Puisque la contribution de tous les multiples de 3 impairs est nulle, il conviendrait de la retirer ainsi il n'y a donc plus (n/2) impairs consécutifs possibles mais plutôt (2/3)(n/2) et si Nmoy est le nombre moyen de couples de premiers jumeaux dans l'intervalle [1, n] alors on pourrait écrire :
(4/3)[n/ln(n)2] < Nmoy < 2[n/ln(n)2] avec n >> 1
Applications Numériques :
Si n = 100 alors on a : 6.28 < Nmoy < 9.43 et on constate que N = 8
Si n = 1000 alors on a : 27.94 < Nmoy < 41.92 et on constate que N = 35
Si n = 10 000 alors on a : 157.17 < Nmoy < 235.76 et on constate que N = 205
Si n = 100 000 alors on a : 1005.92 < Nmoy < 1508.89 et on constate que N = 1224
Si n = 1 000 000 alors on a : 6985.6 < Nmoy < 10478.42 et on constate que N = 8169
Si n = 100 000 000 alors on a : 349 280.92 < Nmoy < 589 411.55 et on constate que N = 440 312
Si n = 10 000 000 000 alors on a : 25 148 226.2 < Nmoy < 37 722 339.4 et on constate que N = 27 412 679

Néanmoins, Il est raisonnable de penser que la probabilité 2/ln(n) moyenne trop pour l'ensemble de l'intervalle [1, n] surtout lorsque n >> 1
Mais on peut garder le raisonnement ci-dessus pour intervalle [n2, (n+1)2] puis faire l'intégrale sur n ce qui permet d'obtenir Nint caractérisant dans le cadre de ce modèle le nombre de premiers jumeaux inférieurs à n2.

On trouve que le nombre moyen de couples de jumeaux sur [n2, (n+1)2] vaut : (2/3)(n/2)*(2/ln(n))2 = (4/3)(n/ln(n)2) = 2C2(n/ln(n)2)
avec C2 =2/3 puis en intégrant sur n on trouve : (4/3)intégrale[n/ln(n))]^2 les bornes d'intégration choisies sont n et 2

Applications numériques :
Si n = 100 soit n2 = 10 000 on a Nint = 213,75 or N = 205
Si n = 1000 soit n2= 1 000 000 on a Nint = 8326,73 or N = 8169
Si n = 10 000 soit n2= 100 000 000 on a Nint = 444 704, 36 or N = 440 312
Si n = 100 000 soit n2= 100 000 000 000 on a Nint = 27 681 510, 13 or N = 27 412 679

Réponses

  • Bonjour,

    Pardonne-moi mais ça commence mal : « On sait que le nombre de premiers inférieurs à n tend vers n/ln(n) quand n tend vers +l'infini ».
    Une fois corrigé cela, je pense que davantage de lecteurs viendront.
  • Bonjour Dom,

    Je pense avoir pris en compte votre remarque mais dans le cas contraire n'hésitez pas à préciser.
  • Si n tend vers l’infini, la limite ne peut pas dépendre de n.
  • Je ne suis pas sûr de vous comprendre car dans mon propos je ne parle pas de limite ou de constante mais d'une convergence vers une fonction soit ici n/ln(n) quand n tend vers +l'infini...
  • Pour converger vers une fonction, il faut une suite de fonctions.
  • Bonjour,
    La notion de "convergence d'une suite de nombres vers une fonction" (ou bien vers une suite) n'est pas définie. On parle de convergence vers une limite (dans ce contexte, un nombre réel). Ce que vous voulez exprimer est l'équivalence de deux suites. Certes les interprétations intuitives de ces deux notions en tant qu'approximations sont similaires, mais les définitions sont différentes.
  • Merci Calli pour vos précisions et pour le lien fourni, je pense avoir levé l'ambiguité en modifiant le contenu de mon propos...
  • Bonjour
    Merci d'avoir rectifié.
    Je regarde la seconde phrase : "On se propose alors de définir une probabilité q pour qu'un impair pris au hasard dans l'intervalle [1, n] soit un nombre premier puis de poser q = 2/ln(n) avec n >> 1"

    Question 1 : Soit $n$, un entier, s'agit-il de " l'intervalle d'entiers " $E_n = \{1;2;3;4;5;\ldots;n\}$, c'est-à-dire l'ensemble des $n$ premiers entiers consécutifs non nuls ?

    Question 2 : peux-tu détailler et notamment donner la loi de probabilité ?
    Ne regardes-tu que deux ensembles : l'ensemble des premiers impairs dans $E$ et son complémentaire ?
  • Bonjour,

    Oui à la question 1; n est un naturel strictement supérieur à 1 par ailleurs, il faut considérer n grand devant 1 pour que le théorème des nombres premiers puisse s'appliquer.

    Ainsi dans l'intervalle [1, n], on considère tous les naturels impairs et non l'ensemble des premiers impairs. A chaque impair pris dans l'intervalle en question, j'attribue la probabilité moyenne 2/ln(n) d'être un nombre premier alors que les nombres pairs ont par définition une probabilité nulle de l'être mais il faut aussi garder à l'esprit que certains naturels impairs ont eux aussi une contribution nulle comme ceux qui sont multiples de trois.

    Pour résumé, je postule qu'il existe une probabilité moyenne q identique pour tous les impairs de En d'être un nombre premier, à partir de là on peut bâtir une espérance mathématique pour le nombre moyen de nombres premiers dans En soit : (n/2)*q

    On déduit q à partir du théorème des nombres premiers sachant que le nombre de premiers inférieurs ou égaux à n tend asymptotiquement vers la relation n/ln(n) quand n >> 1 d'où q = 2/ln(n).
  • Je n'ai pas compris quelle était la question.

    Le modèle aléatoire des nombres premiers dit que si on tire $n$ uniformément dans $[1,x]$, quand $x \to \infty$, on peut considérer que les $n \bmod p$ sont indépendants d'un $p$ à l'autre et uniformément distribués.

    Donc la probabilité que $p$ ne divise ni $n$ ni $n+2$ c'est $1-\frac2p$ (pour $p$ impair, sinon c'est $\frac12$) et la probabilité que $n,n+2$ soient tous les deux premiers c'est $\frac12\prod_{3 \le p \le n} (1-\frac2p)\sim \frac{C}{\ln^2 n}$

    On s'attend donc à avoir $$\pi_2(x) \sim \sum_{n \le x} \frac{C}{\ln^2 n}\sim C\frac{ x}{\ln^2 x} $$ paires de nombres premiers jumeaux $\le x$.

    Note que la constante obtenue c'est $C \approx 0.41590$ qui n'est pas la même que la constante des nombres premiers jumeaux.

    Pour obtenir la "bonne constante" il faut dire qu'il y a une ambiguïté dans le modèle aléatoire des nombres premiers : que pour n'importe quel $a \in [1/2,1]$ on pourrait très bien dire que la probabilité que $n,n+2$ soient tous les deux premiers est $\frac12\prod_{3 \le p \le (n+2)^a} (1-\frac2p)$, rien ne nous force à prendre $a= 1$ ou $a=1/2$.

    Et que le bon $a$ c'est celui tel que la probabilité que $n$ soit premier est $\prod_{p \le n^a} (1-\frac1p) \sim \frac1{\ln n}$ (car il faut bien respecter le PNT, ou plus simplement que $\zeta(s)$ a un pôle en $s=1$ de résidu $1$)

    On tombe alors sur le facteur de normalisation $$2 C_2 = \frac{\frac12\prod_{3 \le p} (1-\frac2p)}{\prod_{2 \le p} (1-\frac1p)^2} ,\qquad \pi_2(x) \sim 2C_2\frac{x}{\ln^2 x}$$ qui est la constante des nombres premiers jumeaux.

    J'espère que cet exemple est assez clair sur le fait que le modèle aléatoire des nombres premiers donne des résultats "pas faux", mais que pour obtenir des prédictions cohérentes il faut bidouiller les "contraintes de congruence", en gardant seulement les bonnes, car dans toute leur généralité les contraintes de congruence définissent la suite des nombres premiers de manière unique (et on perd alors tout l'aspect aléatoire).
  • @Reuns

    Bonjour, il n'y avait pas vraiment de question seulement une tentative pour estimer le nombre de premiers jumeaux inférieurs à n à partir d'une probabilité de répartition 1/ln(n) déduite de la distance moyenne entre deux premiers consécutifs et du théorème des nombres premiers, une tentative que je souhaitais soumettre à l'avis des membres...


    Un grand merci pour ce post très intéressant à la fois clair et simple :-)
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