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Règle de d'Alembert

Bonjour,

Je suis tombé par hasard sur cette version de la règle de d'[large]A[/large]lembert "revisité" pour des séries quelconques (avec terme général pas forcément positif) :

1561110501-d-alembert.png

J'ai un petit doute : manifestement c'est la règle de d'Alembert qu'on utilise avec le module de la suite, donc dans le cas $\lambda<1$ on obtient la convergence absolu de la série qui induit la converge de la série donc pas de soucis.
Par contre, si $\lambda>1$, on a que la série ne converge pas absolument, ça ok, mais je suis peut être rouillé mais en général cela n'implique pas forcément la divergence de la série non (confer séries alternées) ?
Merci.

[Jean Le Rond d’Alembert (1717-1783) prend toujours une majuscule. AD]

Réponses

  • Si $\lambda>1$, le module du terme général tend vers l'infini.

    PS : en effet, choisissons $k$ strictement compris entre $1$ et $\lambda$ ; alors $|u_{n+1}|\ge k|u_n|$ pour $n\ge n_0$ pour $n_0$ convenable, si bien que $|u_n|\ge k^{n-n_0}|u_{n_0}|$ pour ces $n$.
  • merci, avec cet argument ça devient évident.
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