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Théorème de Cauchy-Lipschitz local

Bonjour à tous
J'ai un petit doute sur un point de cette démo de Cauchy Lipschitz Local.

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Au niveau de la complétude de $\mathfrak{F}$, deux questions.
- A priori, $I_\alpha$ semble être un ouvert, comment peut-on dire que c'est un compact ?
- Dans le fond, comme l'espace d'arrivée de $\mathfrak{F}$ est complet et comme $\mathfrak{F}$ est un ensemble d'applications muni de la norme infinie, a-t-on vraiment besoin de donner argument ?
Merci !

Réponses

  • C'est une coquille, tu le ferme et il devient compact
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    Citation en cours
  • Ok, et comme ce n'est pas la version "existence d'une solution maximale" du théorème, il n'est pas crucial que cet intervalle soit un ouvert?
  • Exact, d'autant que tu ne te serviras au final que de l'intérieur de ton compact pour obtenir une solution définie sur un voisinage de $t_0$. L'existence d'une solution maximale suivra alors par un argument de connexité.
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