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Groupes d'ordre pq

Bonjour à tous
Voici une preuve qui me soulève deux petites questions.

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- Au niveau de l'application $\theta$ définie à la fin, pourquoi a-t-on le droit de partir directement du fait que c'est une bijection et de se contenter de prouver que c'est un morphisme (pour aboutir au constat que c'est un isomorphisme) ?
- Au final, au niveau de ce fameux produit semi-direct, comme le choix de l'image d'un générateur de $\Z/p\Z$ détermine le morphisme $\varphi$, cela veut dire qu'il y aura potentiellement $p$ produits semi-directs différents ? (bien qu'ils soient en fait isomorphes entre eux comme le conclut la preuve...)

Merci !

Réponses

  • Les ensembles de départ et d'arrivée de $\theta$ sont tous deux le produit cartésien $N\times H$ et $\alpha$ est une bijection : il devrait être clair que $\theta^{-1}(n',h')=(n',\alpha^{-1}(h'))$.

    Lorsque $p$ divise $q-1$, il y a $p-1$ morphismes non triviaux de $\Z/p\Z$ dans $(\Z/q\Z)^*$ (autant que d'élément d'ordre $p$) donc $p-1$ produits semi-directs ensemblistement différents, en plus du morphisme trivial qui correspond au produit direct et n'est pas isomorphe aux précédents.
  • Par contre l'énoncé est vraiment nul... "alors $G$ n'a que 2 structures possibles" - on comprend vaguement ce que ça veut dire mais franchement il y a plus clair et plus précis.
  • Bonjour,

    Merci!

    NB : $N\rtimes{H}$ et $N\times{H}$ ont le même ensemble sous-jacent et donc le même cardinal c'est cela non?
  • @Maxtimax : C'est vrai. Comme on se donne un groupe au départ, eh bien, il n'a qu'une seule structure possible, qui est celle que l'on s'est donnée. (Et ceci sans hypothèse supplémentaire...)

    @ raboteux : oui, ils ont le même cardinal, mais il est faux que toute application d'un ensemble fini vers un ensemble fini de même cardinal est une bijection. Ici, c'est une bijection parce que c'est évident que c'est une bijection, pour ainsi dire. Aussi évident que pour l'application $(x,y)\mapsto(x,2y)$ de $\R^2$ dans $\R^2$, par exemple.
  • Oui, ici tu utilises directement l'argument que la bijection réciproque existe et que : $\theta^{-1}\circ \theta=\theta\circ\theta^{-1}=Id$

    Pour ta mise en garde: il me semble qu'avec un raisonnement par cardinalité égale, il faut au moins prouver l'injectivité ou la surjectivité c'est cela?
  • MathCoss : oui; et puis le nombre de structures possibles dépend de conditions sur $p,q$, donc ça devrait être "au plus". Et ensuite, comme c'est visiblement un document pour des personnes qui débutent en algèbre/théorie des groupes, il serait bon de préciser qu'on parle "à isomorphisme près" (entre algébristes expérimenté.e.s on se comprendra, mais pour des débutant.e.s...)
    A mon sens un bon énoncé ressemblerait plus à "Soit $p,q$ deux premiers. Si $p\nmid q-1$, tout groupe d'ordre $pq$ est isomorphe à $\Z/pq\Z$. Si $p\mid q-1$, il y a un poduit semi-direct $G=\Z/q\Z\rtimes \Z/p\Z$ tel que tout groupe d'ordre $pq$ est isomorphe à $G$ ou à $\Z/pq\Z$".

    Si on veut être plus concis et rester dans la précision : " $p,q$ deux premiers. Alors il existe au plus deux classes d'isomorphismes de groupes d'ordre $pq$"
    Ou si on veut s'amuser : "Soit $G_1,G_2,G_3$ des groupes d'ordres $pq$. Alors deux d'entre eux sont isomorphes".
  • raboteux a écrit:
    Pour ta mise en garde: il me semble qu'avec un raisonnement par cardinalité égale, il faut au moins prouver l'injectivité ou la surjectivité c'est cela ?
    Oui, c'est cela.
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