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Math pour la théorie quantique des champs

Bonjour !
J'ai un niveau de math fin de licence début master et j'aimerais commencer la théorie quantique des champs.
J'ai déjà fait de la mécanique quantique non relativiste.
J'aimerais savoir quelles mathématiques sont nécessaires pour aborder la TQC. Quelle différence en termes de mathématiques avec la mécanique quantique classique.

Réponses

  • Déjà je tiens à préciser que je suis loin d'être un expert. Premièrement je pense que c'est important de trouver des gens avec qui parler car c'est un sujet assez compliqué de mon expérience ... Deuxièmement je pense que ça vaut le coup de regarder un peu de théorie "classique" des champs qui nécessitent comme prérequis mathématiques la théorie des variétés différentielles et des groupes de Lie.

    Ensuite, théorie quantique des champs est (je pense) un terme assez vaste. Je donne juste un petit exemple pour illustrer : un sous-branche est donnée par la théorie topologique quantique des champs (aka TQFT), qui est déjà un domaine énorme. De manière formelle, elle est définie par un foncteur $Z$ de la catégorie des $n$-cobordismes vers la catégorie des espaces vectoriels qui vérifie certains axiomes (trouvés par Atiyah). Par exemple on veut que $Z(\Sigma_1 \sqcup \Sigma_2) = Z(\Sigma_1) \otimes Z(\Sigma_2)$. On peut s'en servir pour définir des invariants de noeuds pour les TQFT de dimension $3$. Les prérequis mathématiques sont un peu de topologie et un peu d'algèbre/de catégorie. Le cas des TQFT de dimension 2 est bien compris, voir par exemple http://mat.uab.es/~kock/TQFT/FS.pdf

    Voir aussi la page wikipedia qui contient quelques informations : https://en.wikipedia.org/wiki/Topological_quantum_field_theory

    Deux autres ressources : un cours vidéo (les vidéos suivantes sont aussi sur le site) du cours que j'avais suivi sur la théorie des champs pour mathématicien https://mediaserver.unige.ch/play/100002
    et un livre énorme écrit par des mathématiciens de très haut niveau (par exemple Deligne ... ) et des physiciens de la même envergure (par exemple Witten ...) https://www.math.arizona.edu/~faris/deligne5.pdf
  • @Lupulus: TQFT c'est quand même autre chose...

    Il n'y pas besoin d'avoir des bases spécifiques, mais si tu connais la géométrie symplectique, la mécanique hamiltonienne, la mécanique quantique et la théorie des perturbations, c'est bien sûr plus facile. Idéalement, il faut connaître un peu de mécanique statistique et savoir faire des calculs perturbatifs (modèle de Ising etc.)

    Tu ne trouveras aucun ouvrage pour mathématiciens à proprement parler. Le mieux est de discuter avec des physiciens en fonction des problèmes que tu étudies. J'ai utilisé l'intégrale des livres de Zinn-Justin et celui Peskine-Schröder, mais ce ne sont pas des ouvrages faciles. Il est aussi intéressant de lire les articles originaux. D'ailleurs je me demande quel livre tu as bien pu utiliser pour la mécanique quantique? Parce que là aussi je ne vois aucun ouvrage. Si tu connais l'oscillateur harmonique c'est l'un des exemples les plus triviaux de TQC, tu as aussi les systèmes à deux états. En fait, quand on apprend la TQC il est intéressant de reprendre la MQ d'un point de vue différent.

    Enfin la différence majeure en TQC c'est que le nombre de particules n'est pas fixé. Dans les calculs perturbations les termes sont infinis ce qui pose bien sûr des problèmes, l'opérateur d'évolution est mal défini, tu n'as rien de simple comme la mesure de Wiener. Bref c'est quand même assez complexe.


    M.
  • Bonjour, merci pour vos réponses!
    J'ai lu le Cohen Tannoudji, le livre de Jean Louis Basdevant et je suis des cours sur le sujet
    Je pense "bien" connaitre la mécanique quantique classique. J'aurais du mentionner que je suis plus physicien que mathématicien. Quel sont les prérequis purement mathématiques pour la TQC par rapport à la mécanique quantique classique?
  • Si tu es + physicien alors c'est + facile. Je ne vois pas de prérecquis nécessaire après si tu fais de la théorie de jauge, tu peux avoir besoin de deux trois notions sur les fibrés principaux, mais au début si tu fais de la théorie scalaire ou de l'électro-dynamique, tu n'as besoin de rien si ce n'est d'un bon prof.
    M.
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