Les cas d'égalité de triangles
dans Géométrie
Bonjour.
J'ai une petite remarque à présenter concernant l'ordre des cas d'égalité de triangles.Le 1er et le 2eme cas.
Le 1er et le 2eme cas sont mal classés
Examinons le 3eme cas qui veut dire 3 cotés (égaux).
Par analogie au 3eme cas (qui correspond au 3 cotés).
Le 2eme cas doit correspondre au 2 cotés.
Le 1er cas doit correspondre au 1 coté.
Dans le collège on remarque :
Le 1er cas correspond au 2 cotés (qui n'est pas analogue 3eme cas)
Le 2eme cas correspond au 1 coté (qui n'est pas analogue 3eme cas)
Le 3eme cas correspond 3 cotés (qui est juste)
J' ai voulu juste appliquer une mnémotechnie pour le collégien.
Que pensez-vous.
Cordialement.
Djelloul Sebaa
J'ai une petite remarque à présenter concernant l'ordre des cas d'égalité de triangles.Le 1er et le 2eme cas.
Le 1er et le 2eme cas sont mal classés
Examinons le 3eme cas qui veut dire 3 cotés (égaux).
Par analogie au 3eme cas (qui correspond au 3 cotés).
Le 2eme cas doit correspondre au 2 cotés.
Le 1er cas doit correspondre au 1 coté.
Dans le collège on remarque :
Le 1er cas correspond au 2 cotés (qui n'est pas analogue 3eme cas)
Le 2eme cas correspond au 1 coté (qui n'est pas analogue 3eme cas)
Le 3eme cas correspond 3 cotés (qui est juste)
J' ai voulu juste appliquer une mnémotechnie pour le collégien.
Que pensez-vous.
Cordialement.
Djelloul Sebaa
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Réponses
pourquoi vouloir classer les 3 cas ? Moyen mnémotechnique peut-être (1 côté , 2 côtés , 3 côtés) .
Cordialement
Pour aider le collégien à retenir les 3 cas d"égalité de triangle facilement et cela par moyen mnémotechnique..
Cordialement.
Djelloul Sebaa
Je n'ai pas bien compris la derniere phrase de fm_31.
.........Mais on peut aussi imaginer 2 , 3 , 1 ....
Cordialement.
Djelloul Sebaa
Bonne journée.
Fr. Ch.
Actuellement ; je trouve dès fois une confusion entre le 1er cas et le 2eme cas.
Que dit-on pour le collegien.
Cordialement.
Djelloul Sebaa
Les cas d’égalité des triangles sont admis dès la 5e, essentiellement pour justifier qu’un
triangle peut être construit connaissant certains de ses éléments métriques. Leur emploi dans
certaines démonstrations doit demeurer très modeste.
Avec ça, difficile de répondre à la question de @Chaurien.
Quelle tristesse encore de consulter ces textes si peu précis.
Cela m'étonne, est-ce un lapsus avec "trois propriétés" ou "trois théorèmes" ?
D'ailleurs, il est vrai qu'il n'existe pas une seule définition pour "triangles égaux".
On trouve au moins deux écoles : (je parle du fond, pas de la forme)
a) deux triangles sont dits égaux lorsque les longueurs de leurs côtés et les mesures de leurs angles sont égales deux à deux.
En gros on a "six choses égales".
Pour moi il s'agit de traduire ce que signifie "superposables" avec cette définition "a)".
b) deux triangles sont dits égaux lorsque les longueurs de leurs côtés sont égales deux à deux.
Pour moi, c'est plutôt un théorème : si b), alors a).
Ce serait donc un cas d'égalité.
Pour les cas de similitudes des triangles : on trouve une mnémotechnie pour le 2eme et le 3eme cas
Cordialement.
Djelloul Sebaa
Encore faudrait-il donner, comme je l'ai déjà dit, la définition de ces 2° et 3° cas, sinon on parle dans le vide.
Cas $abc$
Cas $ab\gamma$
Cas $ab\alpha$ (le petit traître)
Cas $a\xi\xi$
ce qui éviterait toute ambiguïté. De plus on repérerait immédiatement le faux 2e cas
et on verrait que dans le dernier cas n'importe quelle paire d'angles fait l'affaire.
Pensez que certains élèves déménagent...
Bonne soirée quand même.
Fr. Ch.
Chez nos amis anglais, on utilise les acronymes:
$SSS$, $SAS$, $ASA$, $AAS$
En français, cela donnerait:
$CCC$, $CAC$, $ACA$, $AAC$
Mais la vraie question est plutôt: a-t-on encore besoin de se souvenir de quelque chose?
Remember ! Souviens-toi, prodigue ! Esto memor !
Amicalement
[small]p[/small]appus
En fait, il n'y a pas besoin de cet axiome des parallèles pour obtenir AAC à partir de ACA.
Voir par exemple, Continuous Symmetry , From Euclid to Klein, W. Barker et R. Howe, AMS, 2007.
Ce cas est intéressant à exposer mais n'est pas un cas d'isométrie .
J'ai trouvé un 5eme cas d'égalité de triangles: CCA.
Que pensez-vous.
Cordiaement.
Djelloul Sebaa
ABC et ABC' ne sont pas égaux même si AC'=AC (ACC' isocèle) et que le côté AB et l'angle en B sont communs.
Par contre, ça fonctionne dans le cas des triangles rectangles.
Ca n'empêche en rien de regarder de près ce que donne 2 côtés respectivement égaux et un des angles non inscrits égal et de découvrir que ces conditions ne sont pas suffisantes .
Mais la question initiale portait plutôt sur un classement des cas d'isométrie (pour moi sans intérêt) et les moyens mnémotechniques . Pas mal ont été donnés .
Le 5eme cas d'égalité de triangles :CCA s'applique sur 2 triangles qui n'ont ni coté commun ni angle commun.
SiouxLeger merci pour la remarque
Cordialement.
Djelloul Sebaa
Que les côtés et angle soient communs ou pas n'a aucune importance . Le résultat est le même : conditions pas suffisantes pour assurer une isométrie .
Voici la réponse détaillée sur le CCA.
On pourrait rajouter par exemple que les 2 triangles sont acutangles ou obtusangles .
On a donc des cas où l'on ne trouve aucun triangle, ou bien un seul, ou bien exactement deux.
Petite question :
Pour tordre cette affirmation, suffit-il d'appliquer les relations d'Al-Kashi ?
Une autre idée ?
Voici une démonstration :
l'angle C = l'angle F ( par hypothèse) implique : sinC = sinF.
AB = ED (par hypothèse).implique AB/sinC = ED/sinF..............................................(1)
Dans le triangle ABC . on a
lAB/sinC =AC/sinB ...............................................................................(2)
Dans le triangle EDF . on a
ED/sinF..= DF/sinE.................................................................................(3)
De (1) ;(2) et (3) :on tire :
AC/sinB = DF/sinE. ............................................................................(4)
or AC = DF ( par hypothèse).............................................................(5).
de ( 4 ) et ( 5 ) on tire :
sinB = sinE entraine angle B = angle E .
Par suite angle A = angle D (la somme des angles du triangle vaut 180 degrés)
Par conséquent .
Les triangles ABCet DEF sont bien égaux et superposables .
ET CELA QUELLE QUE SOIT LA NATURE DES TRIANGLES.
Cordialement.
Djelloul Sebaa
.
Sauf si j'ai loupé une hypothèse (B et E sont des angles aigus ou autre chose ?) c'est faux.
Par exemple, sin(135) = sin(45).
j'adresse un grand merci à Dom pour la critique
Pour connaitre la nature des angles B et E (obtu ou aigu ) il faut voir les figures des triangles ABC et DEF.
Dans le triangle ABC ; l"angle B est aigu.
Dans le triangle DEF ;l"angle E est aigu.
D"ou sinB = sinE entraine angle B = angle E......( les angles B et E sont bien aigus )
...............................................................................................................................................................................
2eme Démonstration;
J'ai construis le triangle ABC sur une feuille blanche
.
En suivant les étapes pour construire le triangle DEF
sur le papier calque
Conclusion :les triangles sont bien superposables ( donc ils sont égaux).
ANALOGUE AUX 1er ; 2eme et 3eme cas.
Cordialement.
Djelloul Sebaa
Ca , c'est une condition supplémentaire mais insuffisante .
On est toujours dans le dialogue de sourd
fm_31; merci pour la critique mais ou est passé le triangle DEF .
on ne voit que triangle ABC (d'après ta figure).
A suivre.
Djelloul Sebaa
Dans le triangle DFE ; on ne voit pas le cercle (C) de centre D ; et de rayon R = DF ; qui coupe la demi-droite [EF) en 2 points F et F1.
A suivre.
Djelloul Sebaa
Quant au cercle tu peux l'imaginer sans difficulté et il apparait sur la figure précédente .
Trace le cercle pour continuer la discussion
Pour plus de détails voir fichier ggb joint
fm_31 merci beaucoup ; mais à vrai dire je n'arrive pas ouvrir le fichier ; car le ggb n'est pas installé sur mon PC.
A suivre.
Ben, installe Géogebra, c'est libre et gratuit.
Cordialement,
Rescassol
Voici une petite question.
C'est quoi :
La condition nécessaire ; suffisante et insuffisante ( à la fois ).........( citer un exemple )
Cordialement.
Djelloul Sebaa
[Doublon. Répondre à cette question dans http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?16,1744476 AD]
Une condition insuffisante peut devenir suffisante en lui rajoutant d'autres conditions .
C'est en ce sens que CCA est une condition insuffisante . Elle peut devenir suffisante que si on lui rajoute d'autres conditions pour devenir CCA et ....
Je sais bien qu'il peut arriver qu'on soit noir et blanc à la fois mais une condition à la fois suffisante et insuffisante n'existe que dans un ensemble vide .
Quelle est la différence entre la construction CCA et la construction ACC.
Cordialement.
Djelloul Sebaa
D’autre part c’est la construction tant débattue qui, en général, propose deux triangles non isométriques.
La construction CCA ( prise dans cet ordre ) est possible .
Par contre : la construction ACC ( prise dans cet ordre ) est impossible.
Cordialement
Djelloul Sebaa
Apparemment on ne désire plus parler de triangles isométriques.
« CCA dans cet ordre est possible » : qu’est-ce que cela signifie ?
Remarque : c’est un bon exercice d’en trouver une définition claire.