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Exponentielle matricielle

Bonjour à tous,

Je viens une fois de plus solliciter votre aide sur cet exercice du Francinou sur lequel je butte dans la compréhension du corrigé :

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- pour prouver la bijectivité de $\psi$, le corrigé a recours à des développement limité en $0$ des fonctions $exp(x)-1$ et $ln(1+x)$ mais j'ai du mal à comprendre quelle peut être la légitimité de telles analogies alors que $\psi$ est une application qui calcule l'image de matrices nilpotentes...


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- pour revalider la commutativé des matrices D et N, dont on a pourtant posé par hypothèse qu'elle commutent en début de corrigé, l'auteur a recours à un polynôme interpolateur de Lagrange, j'avoue ne pas comprendre en quoi il permet de revalider que D et N commutent ...

https://image.noelshack.com/fichiers/2018/45/2/1541520986-img-20181025-145447743-burst001.jpg

NB : je vous prie de m'excuser pour la mauvaise qualité de ces documents, j'aurai volontiers refait de vrais scans mais je ne dispose plus du livre...

Merci par avance.

Réponses

  • Tu peux aussi introduire explicitement les notations et écrire les arguments qui te posent problème. Ça demande un peu de boulot, bien sûr.
    Pour l'utilisation des d.l. dans les arguments, on peut utiliser le fait que l'application qui à une fonction infiniment différentiable au voisinage de l'origine associe son développement limité à l'ordre $n$ est un morphisme de $\mathbb R$-algèbres (ça préserve les opérations) dans $\mathbb R[X]/(X^{n+1})$, compatible avec la composition $f\circ g$ quand $g(0)=0$. On peut aussi aller dans l'algèbre de séries formelles en prenant la série de Taylor à l'origine de la fonction.
  • Merci pour ta réponse.

    - On veut prouver la bijectivité de $\psi$ : comme $\phi(N)=\ln(I_n+N)$ et $\psi(N)=\exp(N)-I_n$, pourquoi ne peut-on pas simplement pas dire que $\exp(\ln(I_n+N))-I_n=N$, que $\ln(I_n+\exp(N)-I_n)=N$ et donc que $\psi \circ \phi=\phi \circ \psi=Id$ ? Pourquoi doit-on introduire ces développements limités en 0 ?

    - Concernant le polynôme $Q$ de Lagrange, je ne comprends pas le procédé. On pose $D=Q(D')$ et suite à cela $D$ et $N$ commutent bien mais je n'arrive pas à comprendre le lien de cause à effet entre ces deux faits ...
  • J'avais écrit : "Tu peux aussi introduire explicitement les notations". Tu ne l'as pas vraiment fait, donc je ne sais pas bien de quoi tu parles.
    Et pour ta question "ne peut-on pas simplement pas dire", je te réponds : tu peux le dire, mais dire n'est pas démontrer.
  • Pour la question sur le fait que $D$ et $N$ commutent, si $D' = \exp(D)$ alors $D'$ est un polynôme en $D$ (utiliser le fait que l'espace des polynômes en $D$ est de dimension finie donc est fermé dans $\mathcal M_n(\mathbb K)$), puis si $N$ est un polynôme en $D'$, c'est également un polynôme en $D$ donc $D$ et $N$ commutent.
  • Merci pour ta réponse Poirot. Je vais creuser...
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