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Mesure invariante par translation

Bonjour,

Je cherche à démontrer que pour toute mesure $\mu $ borélienne sur $\R $ invariante par translation (i.e. $\forall A\in Bor(R), \forall x\in \R , \mu (A+x)=\mu (A)$ où $A+x:=${$a+x ; a\in A$} ) on a :

$\forall A\in Bor(R)$ $\mu (A)=\mu (]0,1])* \lambda (A)$ où $\lambda$ est la mesure de Lebesgue sur $R$.


J'ai commencé par montrer que pour $m,n\in \mathbb{N}$ avec $m\leq n$ on a $\mu (]m,n])=\mu (]0,1])*(n-m)$

$\mu (]m,n])=\mu (]m,n]-m)=\mu (]0,n-m])=\mu (\bigcup\limits_{i=1}^{n-m} ]i-1,i])=\sum\limits_{i=1}^{n-m} \mu (]i-1,i])=\sum\limits_{i=1}^{n-m} \mu (]i-1,i]-i+1)=\sum\limits_{i=1}^{n-m} \mu (]0,1])$$=(n-m)*\mu (]0,1]) $

La deuxième étape consiste à montrer la même égalité avec $m,n\in \mathbb{Q}$ et c'est ça qui me pose problème.
Je suis incapable de montrer que $m,n\in \mathbb{Q}$ avec $m\leq n$ on a $\mu (]m,n])=\mu (]0,1])*(n-m)$.

Je n'arrive pas à transformer mon intervalle $]m,n]$ de manière à pouvoir extraire $\mu (]0,1])$.

Pourriez-vous me donner une piste ?
Merci d'avance.

Réponses

  • Tu peux écrire $[0,1[$ comme réunion d'intervalles.
  • Bonjour aléa,

    j'ai essayé d'écrire $]0,1]=\bigcup\limits_{i=1}^{n-m}]0,\frac {i}{n-m}]$ mais je ne vois pas très bien où cela me mène.

    Pourrais-tu être plus précis ?

    De plus est-ce que ça a un sens dans la mesure où $n-m\in \mathbb{Q}$
  • Tu veux aller trop vite. Commence par chercher la valeur de $\mu([0,1/2[)$.
  • Voilà ce que j'ai fait :

    $\mu (]0,1/2]) = \mu (]0,1/2]+1/2])=\mu (]1/2,1])$ et $\mu (]0,1/2])+\mu (]1/2,1])=\mu(]0,1])=2\mu (]0,1/2])$

    on peut peut-être généraliser avec $ \mu(]0,1])=n\mu(0,1/n)$ où encore $\mu (]0,1])= \frac{1}{n-m} \mu (]0,n-m])$

    d'où $(n-m)\mu (]0,1])=\mu (]0,n-m])=\mu (]0,n-m]+m)=\mu (]m,n])$

    Est-ce que c'est cohérent ?
  • OK. Mais le paramètre $m$ ne sert qu'à t'embrouiller.
    Avec l'invariance par translation, on veut montrer que $\mu([0,x[)=x\mu([0,1[)$ pour le plus de $x$ positifs possibles.
    Tu as fait
    1) $x$ entier positif
    2) $x$ positif de la forme $1/n$
    Il faut passer à
    3) $x$ positif rationnel
    4) $x$ positif quelconque
  • je crois que j'ai trouvé pour $x\in \mathbb{Q}$ : $\exists p,q\in \mathbb{Z}$ tel que $x=\frac{p}{q} $


    $]0,x]=]0,\frac{p}{q}]=\bigcup\limits_{i=1}^{p}]\frac{i-1}{q},\frac {i}{q}]$

    donc

    $\mu (]0,x])=\sum\limits_{i=1}^{p} \mu (]\frac{i-1}{q},\frac{i}{q}])$

    or $\forall i\in ${1,...,p} $\mu (]\frac{i-1}{q},\frac{i}{q}])=\mu (]\frac{i-1}{q},\frac{i}{q}]-\frac{i-1}{q})=\mu (]0,\frac{1}{q}])$

    en consequence,

    $\mu (]0,x])=p\mu(]0,\frac{1}{q}])=\frac{p}{q} \mu (]0,1])=x\mu (]0,1])$

    Il ne me reste que pour x quelconque. Je re-posterai quand j'aurais trouvé.

    Merci aléa.
  • Bonjour,

    Voici ce que j'ai trouvé pour le cas réel : Soit $x\in \mathbb{R}_{+}$. Montrons que $\mu (]0,x])=x\mu (]0,1])$.

    Comme $x\in \mathbb{R}_{+}$ alors il existe une suite $(a_n)_{n\in \mathbb{N}}$ tel que $a_n\to x$ (on peut supposer $(a_n)$ croissante et $a_0=0$)

    ainsi : $]0,x]=\bigcup_{n\in \mathbb{N}} ]a_n,a_{n+1}]$

    donc $\mu (]0,x])=\mu (\bigcup_{n\in \mathbb{N}} ]a_n,a_{n+1}])=\sum_{n\in \mathbb{N}} \mu (]a_n,a_{n+1}])=\sum_{n\in \mathbb{N}} \mu (]0,a_{n+1}-a_n])$

    or $a_{n+1}-a_n \in \mathbb{Q}$ donc $\mu(]0,x])=\sum_{n\in \mathbb{N}} (a_{n+1}-a_n)\mu(]0,1])=(x-a_0)\mu(]0,1])=x\mu(]0,1])$


    Merci encore aléa pour l'aide apportée.
  • Il faudrait peut-être affirmer que l'on peut choisir les $a_n$ rationnels avant de dire que $a_{n+1}-a_n \in \mathbb{Q}$ !
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