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Polynôme interpolateur

Bonjour à tous
J'ai quelques difficultés de compréhension dans cette preuve de la surjectivité de l'exponentielle (version matrices) :

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On construit un polynôme interpolateur tel que $\mu_i=Q(\lambda_i)$, ok, je vois bien l'idée derrière, par contre quand on prend l'image de $D$ par ce polynôme pourquoi a-t-on $Q(D)=PQ(diag (\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_n))P^{-1}$, etc ...
Je ne comprends pas le procédé de calcul ...
Merci de m’éclairer un peu...

Réponses

  • Bonjour,

    Si $f$ est l'endomorphisme de $C^n$ canoniquement associé à $D$ donc dans la base canonique $B$,
    alors $Diag(...)$ est la matrice de $f$ dans une base $B'$ de vecteurs propres,
    et par la formule de changement de base, on a : $$D=P.Diag(...).P^{-1}$$

    et $Q(f)$ a pour matrices :
    - $Q(D)$ dans la base $B$,
    - $Q(Diag(...))$ dans la base $B'$
    (à justifier proprement, en vérifiant sur des polynômes $X^k$ puis en utilisant la linéarité...)
    et donc par la formule de changement de base, on a : $$Q(D)=P.Q(Diag(...)).P^{-1}$$

    Edité !
  • Bonjour
    Voilà une question basique mais pour laquelle je ne trouve pas de réponse toute faite sur Google.

    Soit $A$ est une matrice diagonalisable, i.e il existe $D$ une matrice diagonale exprimée dans une autre base (de vecteurs propres) tel que $D=P^{-1}AP$.
    Cependant, je vois dans certains ouvrages $A=P^{-1}DP$.

    Est-ce équivalent pour qualifier le caractère "diagonalisable" d'une matrice ?

    [Restons dans la discussion que tu as ouverte sur ton problème. AD]
  • Bonjour

    Oui, bien sûr c'est équivalent ; il suffit de décider qui on appelle $P$. $$

    D=P^{-1}AP\Longleftrightarrow PDP^{-1}=A$$
  • Bonjour,

    Merci, l'équivalence que tu donnes, c'est la classique que l'on voit partout :


    $D=P^{-1}AP\Longleftrightarrow PDP^{-1}=A$


    Cependant, on a aussi :

    $D=P'AP'^{-1}\Longleftrightarrow P'^{-1}DP'=A$

    On passe de l'une a l'autre en posant $P'=P^{-1}$, si toutefois j'ai bien compris ton explication?
  • Oui, c'est bien ce que je voulais dire. En fait $P$ est une matrice de changement de base et $P^{-1}$ est la matrice du changement de base dans l'autre sens. Mais la définition d'une matrice de passage d'une base vers une autre dépend des auteurs, et personnellement je n'ai jamais retenu laquelle est laquelle, et je ne m'en porte pas plus mal!
  • La matrice de passage $P$ de $\mathcal B$ (l'ancienne base) à $\mathcal B'$ (la nouvelle base) est la matrice dont les colonnes sont les coordonnées des vecteurs de la nouvelle base dans l'ancienne base. Normal, non ? Après, comme les coordonnées sont contra(va)riantes, la matrice de changement de base donne les anciennes coordonnées $X$ en fonction des nouvelles $X'$ : $X=PX'$. Partant de là, la formule de changement de base est $M'=P^{-1}MP$.

    Magnolia, je serais intéressé par une référence sérieuse où ça se passe dans l'autre sens ([size=x-small]et bonjour ![/size]).
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