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Limite d'une intégrale

Bonjour à tous
Voici un énoncé.

1537259245-enonce-int.png

Et le corrigé sur lequel un point me pose problème.

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Donc mon souci est à la fin du corrigé de la question 1, je ne comprends pas comment on tire de (*) et (**) l'inégalité finale avec d'un côté $M-2\epsilon$ et de l'autre côté $M+\epsilon$.

Merci par avance pour quelques détails supplémentaires qui me mettraient sur la voie...

Réponses

  • Remarquons déjà qu'il y a une coquille dans le livre : $\displaystyle \lim_{n \longrightarrow \infty} \mu^{1/n} = 1$, et pas $0$.

    Ensuite : ce qu'on a montré à ce stade, c'est que

    $\displaystyle (\beta - \alpha)^{1/n}(M - \epsilon) \leqslant \Big( \int_a^b f(t)^n dt \Big)^{1/n} \leqslant (b-a)^{1/n}M$

    Le passage à la limite donne

    $\displaystyle M - \epsilon \leqslant \lim_{n \longrightarrow \infty} \Big( \int_a^b f(t)^n dt \Big)^{1/n} \leqslant M$

    Et ceci est vrai pour tout $\epsilon > 0$, d'où le résultat.

    Les bouquins de Gourdon contiennent des erreurs, il faut faire attention. Ce n'est pas du tout la première fois que j'en vois une.
  • Je ne suis pas d'accord avec ce procédé : passer à la limite sans prouver qu'elle existe...

    Moyen lambda : pour $n$ assez grand, minorer $(\beta-\alpha)^{1/n}$ par $1-\varepsilon$, majorer $(b-a)^{1/n}$ par $1+\varepsilon$ d'où l'encadrement :
    $$M-(M+1)\varepsilon<M-\varepsilon-\varepsilon M+\varepsilon^2\leqslant\left(\int_a^b f^n\right)^n\leqslant M(1+\varepsilon)$$

    Plus sophistiqué : par limite inférieure et supérieure (qui existent toujours) obtenir que ces limites sont encadrées par $(M-\varepsilon)(1-\varepsilon)$ et $M(1+\varepsilon)$ et conclure puisque $\varepsilon$ est arbitraire.
  • Je vois ce que tu veux dire... j'aime bien la version limite inf/sup, un peu plus solide selon moi.
  • Merci à tous les deux.

    Je n'avais pas noté l'erreur du bouquin, avec la bonne limite pour $\mu^{1/n}$ ça va effectivement tout seul...
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