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Point d'accumulation

Bonjour, j'ai du mal à comprendre la définition d'un point d'accumulation dans mon cours.
Quelqu'un aurait-il l’amabilité de me donner une définition simple et précise de ce qu'on appelle point d'accumulation ?
Merci d'avance.

Réponses

  • Bonjour,

    Un point d'accumulation $a$ de $A$ est un cas particulier de point adhérent : dans tout voisinage de $a$ on peut trouver (au moins) un point $b$ de $A$ qui soit distinct de $a$.
    Exemples : $0$ est point d'accumulation de $\{1/n,n\in \N^*\}$, de $]0;1]$, de $[0;1]$, de $\R^* $..., mais pas de $\{0\}\cup [1;2]$.

    Un point adhérent à $A$ qui n'est pas point d'accumulation est un point isolé de $A$, ie il existe un voisinage de $a$ ne contenant aucun autre point de $A$ que $a$ lui-même. Exemple : $0$ est point isolé de $\{0\}\cup [1;2]$.
  • Comment est que je demontre que 1 n'est pas un point d'accumulation de 1/n U {0}?
  • Hé bien tout simplement en
    1) faisant un dessin.
    2) appliquant les définitions rappelées ci-dessus.

    $1$ est point isolé de ton ensemble~: que penses-tu en effet de l'intervalle $]\,0,99\,;\,1,01[$ (par exemple)~?
  • "Comment est que je demontre que 1 n'est pas un point d'accumulation de 1/n U {0}?"
    La boule ouverte de centre 1 et de rayon r avec r<1/2 est un voisinage de 1 ne contenant pas d'autre élément de ton ensemble. Donc...
  • Merci pour les aides j'ai trouvé déjà la réponse.
    Maintenant comment est-ce que je démontre que tous les points de {0}U1/n sont isolés sauf 0. Aidez-moi s'il vous plait.
  • Par le même genre d'argument que celui avec lequel on a démontré que $1$ est un point isolé.
    A partir de l'encadrement évident $\frac{1}{n+1}<\frac{1}{n}<\frac{1}{n-1}$, il est facile de trouver un voisinage de $\frac{1}{n}$ qui ne contient aucun point de $E$ ($E$ désignant l'ensemble $\{\frac{1}{n},\, n\geq 1\}\cup \{0\}$).
    Pour $0$, c'est encore plus facile~: tout voisinage de $0$ contenant au moins un réel de type $\frac{1}{n}$ (pourquoi~?), $0$ est donc point d'accumulation de $E$.
  • Merci pour la reponse
    Cordiallement
  • bonjour je cherche un cours simple sur les points d'accumulation et les points d'adhérence
    merci
  • Tu veux savoir quoi? Ce que c'est ? où ils interviennent?

    Ca m'étonnerait que tu trouves un pdf ou un livre intitulé "points d'adhérence, points d'accumulation".
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Bonjour,
    pkoi pour l ensemble {1/n} on a que 0 comme point d'accumulation???
    Je comprends que 1 ou 0.5 ou 1/3 ou 1/4 ne sont pas pas des point d'accumulations. Mais points les points très proches de 0 de manière infinitésimale la je suis un peu sceptique!!!

    Merci pour l'aide

    Ps: Meme chose pour {2+1/n}
  • Bonjour.

    Peux-tu nous donner un exemple de "point(s) très proche(s) de 0 de manière infinitésimale" ?
    Car j'avoue que je ne comprends pas bien ce que tu veux dire...

    Cordialement.
  • Bonsoir :
    Un point d'accumulation d'une suite $ (x_n)_{n\geq 0} $ est un point adherent de cette suite qui n'appartient à cette suite.
    Par exemple, si $ x_5 $ est un point adherent de la suite qui y appartient , donc, ce n'est pas un point d'accumulation
    Par contre si la suite $ (x_n)_n $ tend vers $ x $ , alors $ x $ est un point adherent de la suite qui n'appartient pas à la suite, donc, c'est un point d'accumulation.
    Si tu arrives à comprendre un point d'accumulation d'une suite, tu arriverais à comprendre un point d'accumulation d'une partie d'un ensemble $ A $., car c'est la même chose.
  • Kurt,

    tu devrais éviter de changer les définitions. Celle que tu donnes de "point d'accumulation" est fausse.
    De plus la limite d'une suite peut très bien être un des termes de la suite.

    Je crois que tu ferais bien de reprendre toi-même l'apprentissage de ces notions.

    Enfin que vient faire ton message après celui de Pikamimaro? Comme je ne te crois pas assez idiot pour répondre à des messages datant de plusieurs mois, je conclus que tu n'as rien compris à la question de Pikamimaro.

    Cordialement.
  • On va pas entrer en guerre là, regarde par ici, pour que tu comprennes ce qu'est un point d'acumulation.
    http://www.les-mathematiques.net/a/t/g/node8.php3
    Moi, je reponds au premier message de ce fil, donc ça devrait pas t'etonner puisque c'est pas hors sujet.
  • Non, on ne va pas entrer en guerre. Juste deux choses :

    * Ta définition de "point d'accumulation" est fausse.
    * Tu es donc assez bête pour répondre deux ans après à une question qui a déjà été complètement traitée par d'autres. Et en disant des bêtises ...
  • c'est pas ma definition mome, c'est la definiiton de : les-mathematiques.net
  • En plus, quant je dis $ x_n $ tend vers $ x $ , je sous entends que $ x $ est un point qui n'est pas element de la suite, c'est à dire un point d'accumulation, par exemple : $ x_n = \frac{1}{n} $
    donc $ 0 $ est un point d'accumulation
  • c'est juste pour transmettre l'idée de cette notion au initiateur de ce fil.
  • Elle est fausse (et contradictoire avec la remarque sur le fait que la limite d'une suite est point d'adhérence).

    Comme quoi il ne faut pas prendre ce qui est sur internet pour parole d'évangile !
  • Pourquoi, elle est fausse ? explique moi.
  • Aleg a écrit:
    Un point d'accumulation $ a$ de $ A$ est un cas particulier de point adhérent : dans tout voisinage de $ a$ on peut trouver (au moins) un point $ b$ de $ A$ qui soit distinct de $ a$.
    Deuxième message de ce fil !
    Définition donnée il y a deux ans.
  • bonjour est ce que qlq'un peux me donner un exemple pour une partie denombrable qui admet une infinite de point isole et une infinite de point d'accumulation ? MERCI D'AVANCE
  • Bonsoir Alouss

    $\big(\Q\cap [0;1] \big) \cup \N$ ne ferait-il pas l'affaire ?

    Alain
  • soit A={1/n,n>0} pourquoi le {0} est son point d'accumulation? et pourquoi sont intérieur égal le vide
  • Bonjour Mirna.

    Dans les deux cas, l'utilisation de la définition donne immédiatement le résultat. La preuve dépend de ton contexte (topologie de $\mathbb R$, espaces métriques, topologie générale), mais est simple. Pour l'intérieur, cherche un ouvert contenu dans A.

    Cordialement.
  • Bonjour ,

    Malgré les posts précédents , je n'arrive tjrs pas à comprendre la notion de point d'accumulation et un point d'adhérence d'un ensemble.

    Si j'ai un ensemble E , alors les points d'adhérences sont les points qui sont dans E et et le point d'accumulation (ou les points) sont les limites de ma patate ( j'imagine les ensembles comme des patates). Mais si les limites de ma patate sont comprises dans ma patate (dans mes patates la "ligne" dessinant ma patate est une ligne "excluante" ) alors mes points d'accumulations deviennent des points d'adhérences c'est ça ?

    Par exemple : avec un ensemble 1/n ou n appartient aux naturels , 0 est un point d'accumulation mais pq ? n doit être différent de 0 donc ce point n'existe pas.

    Je compte sur votre bienveillance pour répondre à une âme perdue dans la jungle touffue de l'incompréhension

    Merci d'avance ,

    ZeK
  • Bonsoir,

    un point d'accumulation de E n'est pas forcément un point de E. C'est un point dont tout voisinage contient au moins un élément de E autre que lui-même.
    Par exemple pour l'ensemble E que tu as évoqué, 0 en est un point d'accumulation, car quelque soit le voisinage de 0, il y aura dedans au moins un élement de E autre que 0, plus précisémment un élément de la forme $\frac 1 n$ pour un $n \in \N^*$
  • Bonjour,

    Je déterre ce vieux post car il m'a permis de clarifier certaines choses sur les points d'accumulation.

    Pourtant j'ai encore un doute sur un aspect, Aleg disait dans son vieux post :

    "Un point adhérent à A qui n'est pas point d'accumulation est un point isolé de A."

    Donc il semble que les points d'accumulation et les points isolés soient des points de l'adhérence de A qui possèdent des propriétés particulières.
    Mais existe-t-il des points de l'adhérence de A qui ne soient ni des points d'accumulation ni des points isolés ?
  • Un point de l'adhérence de A, c'est la même chose qu'un point adhérent à A, n'est-ce pas ? Alors relis cette phrase
    "Un point adhérent à A qui n'est pas point d'accumulation est un point isolé de A."
    et tu auras la réponse à ta question.
  • Bonjour,
    J'avais bien lu cette phrase et compris ce qu'elle voulais dire, ce qui n'empêche pas que du fait d'autres lectures plus ambiguës , je voulais une confirmation !
    Donc la réponse est non si j'ai bien compris...
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