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Taille d'une matrice et conséquences

Bonjour à tous
En relisant un théorème de cours, je crois avoir compris une conséquence que je n'avais pas remarquée avant mais je ne suis pas sûr de bien interpréter.

Le théorème dit : " deux matrices de type Mn,p sont équivalentes si et seulement si elles ont même rang"

Le point qui m'a fait réfléchir est le sens 2 de l'équivalence, voilà ma réflexion vrai ou fausse, à voir.

- le théorème dit dans le sens 2, que 2 matrices de même rang sont forcément équivalentes (si elles sont de même type)
- donc si elles sont équivalentes, à des changements de base près, ce sont 2 matrices de la même application linéaire.
- par ailleurs, comme le rang de l'application est inférieur ou égal au max de m et n, peut-on pousser plus loin et dire par exemple qu'une matrice de taille 2x3 ne peut "correspondre" qu'à deux applications linéaires différentes au maximum ?

Merci par avance.

Réponses

  • Bah non, une matrice (non nulle) correspond toujours à une infinité d'applications linéaires, puisqu'il suffit de changer les bases dans lesquelles on dit que cette matrice est la matrice d'une application linéaire !

    Je ne vois pas trop le lien que tu fais entre ta majoration du rang par $\max(m,n)$ et le nombre d'applications linéaires représentées par la matrice. Ce qui est vrai, c'est qu'une fois qu'on a fixé une base de l'espace de départ et une base de l'espace d'arrivée, l'application qui à une application linéaire associe sa matrice dans ces bases est bijective.

    Le théorème que tu cites (qui est un avatar du théorème du rang) dit (pour une des implications) simplement, comme tu l'as dit, que si deux matrices ont même rang alors elles représentent la même application linéaire si on choisit bien les bases au départ et à l'arrivée.
  • Attention,

    en général, une matrice peut être la matrice d'une infinité d'applications linéaires. C'est la même matrice, éventuellement la même base de départ, mais il y a une infinité de bases d'arrivée, donc d'applications.

    Cordialement.

    [battu, et par une meilleure explication]
  • @ Gérard et Poirot, salut et fraternité.

    Ce que vous dites est vrai, à condition qu'il y ait une infinité de bases (respectivement d'applications linéaires).

    e.v.
    À ta naissance, tu pleurais tout le temps et tout le monde souriait autour de toi. Fais en sorte qu'à ta mort, ce soit l'inverse. (Proverbe arabe)
  • Merci Poirot, cela me semblait en effet peu logique comme résultat, je l'admet, mais j'aime bien cibler exactement les erreurs de raisonnement que je fais pour ne plus les refaire sur d'autres sujets, donc plus de détails sur mon cheminement :

    Premièrement, j'avais fait une faute de frappe plus haut, je voulais dire que le rang est inférieur ou égal à inf{p,q}, pas au max.

    Pour l'exemple de la matrice 2x3, le rang d'une application linéaire pouvant avoir pour matrice une matrice de cette taille est bien plafonné à 2 puisque il peut valoir 1 ou 2 d'après la règle déjà enoncée.

    Le raisonnement, à priori faux, était :

    - dire qui si toutes les matrices de tailles 2,3 ayant deux pour rang sont équivalentes, donc se rapportent à une même application mais exprimée dans des bases différentes, cela fait une application

    - dire qui si toutes les matrices de tailles 2,3 ayant un pour rang sont équivalentes, donc se rapportent à la même application mais exprimée dans des bases différentes, cela fait une deuxième application

    C'est peut être un peu confus mais c'est difficile de décrire une pensée avec du texte, l'important étant de comprendre exactement sur quel point on raisonne mal, c'est ce qui me fait progresser à chaque fois en tout cas...
  • Zéro est aussi une valeur possible pour le rang d'une matrice...
  • Oui, je n'ai pas traité ce cas, mais il correspond à l'application nulle il me semble.
  • Tout à fait, et seulement à elle puisque le rang d'une application linéaire est la dimension de son image.
  • Bonjour
    Dans la continuité, extrait trouvé dans un autre cours que le mien :

    Remarque : dans Mn,p(K), le nombre de classes d’équivalence pour la relation "être équivalent à" est min(n,p) + 1.

    Donc est-il faux de dire par exemple qu'une matrice 2x3 correspond au maximum à trois homomorphismes différents ?

    Merci de votre patience sur ce sujet qui me perturbe un peu...
  • Non non et non ! Encore une fois tu confonds plusieurs choses. Ça veut simplement dire qu'une matrice de taille $2 \times 3$ a trois valeurs possibles pour son rang, comme tu l'as dit au-dessus, en l'occurrence $0$, $1$ ou $2$.
  • Oui mais pour chaque rang le théorème ne dit il pas que les matrices de même rang sont équivalentes donc correspondent au même homomorphisme?

    Encore une fois, ne le prend pas mal, je n'essaie pas de te prouver que j'ai raison j'essaie de comprendre là où je raisonne mal ! Ce n'est pas la même démarche !
  • ...au même homomorphisme, si l'on met les bonnes bases au départ et à l'arrivée !
  • Que veux-tu dire par « correspond à » ?

    Étant donné une matrice $A\in\mathrm{Mat}_{2\times3}(\R)$, par exemple, c'est la matrice de l'application linéaire « standard » $u_A:\R^3\to\R^2$, $X\mapsto AX$ dans les bases canoniques. Maintenant, si $P$ et $Q$ sont des matrices inversibles quelconques, $P$ de taille $3\times3$, $Q$ de taille $2\times2$, alors $A$ est aussi la matrice de l'application linéaire $u_{Q^{-1}AP}:X\mapsto Q^{-1}APX$. À part si $A$ est la matrice nulle, il y a une infinité de telles matrices (pourquoi ?). Au fait, dans quelles bases est-ce que $A$ est la matrice de $u_{Q^{-1}AP}$ ?

    Le théorème du rang dit que :
    • si on regroupe ensemble toutes les applications linéaires pour lesquelles il existe une matrice de la forme $\left(\begin{smallmatrix}\mathrm{I}_r&0\\0&0\end{smallmatrix}\right)$, le $r$ qu'il faut choisir est bien déterminé par l'application linéaire (c'est le rang) et on forme $3$ paquets ; c'est étonnant car a priori, il n'y a pas de raison que 1)
    • si on regroupe ensemble toutes les applications linéaires qui sont équivalentes, on forme $3$ paquets ; dans chacun, il y a une matrice $\left(\begin{smallmatrix}\mathrm{I}_r&0\\0&0\end{smallmatrix}\right)$ et une seule.
    Tu vois que c'est une question différente, plus globale que celles auxquelles tu sembles vouloir répondre : étant donné une application linéaire particulière, quelle est ou quelles sont les matrices qui peuvent la représenter ? étant donné une matrice, quelles sont les applications linéaires dont elle est la matrice ? La réponse à ces questions est : toutes les applications linéaires (resp. toutes les matrices) de même rang que la matrice (resp. que l'application linéaire).
  • Merci de m'aider math cross,

    Effectivement au lieu de correspondre j'aurai dû dire "représenter" comme dans wiki par exemple :

    Deux matrices A et B sont équivalentes si et seulement si elles peuvent représenter la même application linéaire $f:V\rightarrow W$ par rapport à deux couples (un pour A et un pour B) de bases (une base de V et une base de W) bien choisie
  • Eh bien, toute matrice (réelle) non nulle représente une infinité d'applications linéaires et pas seulement « trois au plus ».
  • Raboteux,
    les mots précis n'ont pas d'importance, ce qui compte est de comprendre le lien "application linéaire"/"matrice".
    Prends le problème à l'envers, considère une application linéaire $f$, de $E$ vers $F$, de rang $n$. À chaque fois qu'on choisit une base de $E$ et une base de $F$, on associe à $f$ une matrice $M_f$, de taille $\dim(F)\dim(E)=q p$. Sans le choix des bases, pas d'association !!
    Maintenant, faisons varier le choix des bases. À chaque fois, on obtient une nouvelle matrice $q\times p$. Lesquelles ? Et bien exactement celles qui ont le même rang $n$ que celle du début. Bien sûr, on ne dira pas qu'il y a une seule matrice de rang $n$ (sauf cas très particulier), le fait de changer un vecteur de la base de $E$, par exemple, fait changer la matrice.

    Cordialement.
  • Voici un problème analogue mais plus simple. On se donne un espace vectoriel, disons réel, de dimension $2$. On dit que deux vecteurs sont équivalents s'il existe une base dans laquelle ils ont les mêmes coordonnées. Questions :

    1) Quels sont les vecteurs qui, dans une base convenable, ont pour coordonnées $(1,0)$ ? Même question avec $(1,3)$, avec $(0,2)$ et avec $(0,0)$.
    2) Étant donné un couple de réels, combien de vecteurs ont ces coordonnées dans une base convenable ?
    3) Combien y a-t-il de classes d'équivalence ?
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