Intégrale de Dirichlet "généralisée".

dedekind93 · August 2018

Bonjour à tous. Il est assez connu que $\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{\sin(t)}t\text{d}t=\int_0^{+\infty}\frac{\sin^2(t)}{t^2}\text{d}t=\frac\pi 2$ (on peut passer d'une intégrale à l'autre par exemple par intégration par parties). Savez-vous des résultats sur, plus généralement : $\displaystyle I_n=\int_0^{+\infty}\left(\frac{\sin(t)}t\right)^n\text{d}t$ ? Il est clair que pour tout $n\in\mathbb{N}^*$ cette intégrale converge, que $I_n$ tend vers $0$ lorsque $n\longrightarrow +\infty$ (par convergence dominée, avec un équivalent pas trop dur via la méthode de Laplace).
Mais en termes de calcul explicite, il semble que pour tout $n\in\mathbb{N}^*$ on ait $I_n=\dfrac{p_n}{q_n}\pi$ avec $p_n,q_n\in\mathbb{N}^*$ : je ne sais pas comment le démontrer, ni s'il existe des relations de récurrence entre $p_n,p_{n+1},q_n,q_{n+1},\dots$. Ne serait-ce que le cas $n=3$ ne m'apparaît pas trivial !
Merci pour vos idées !

jandri · August 2018

Il existe une formule pour $I_n$:
$$I_n=\frac{\pi}{2^n(n-1)!}\sum_{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor}(-1)^k\binom{n}{k}(n-2k)^{n-1}$$
Pour la démontrer on intègre $n-1$ fois par parties pour obtenir $I_n=\displaystyle\frac1{(n-1)!}\int_0^{+\infty}\frac{(\sin^n t)^{(n-1)}}t dt$.

Ensuite on linéarise le numérateur pour se ramener à $I_1$.

Complément: $I_{2n}=\dfrac{A(2n-1,n-1)}{(2n-1)!}\dfrac{\pi}2$ (nombre eulérien).

dedekind93 · August 2018

Boum! Merci de ta réponse Jandri... aurais-tu une référence s'il te plait ?

jandri · August 2018

Je n'ai pas de référence sous la main mais la démonstration est très simple (cela se fait dans des problèmes de concours de prépas).
Je l'ai ajoutée à mon message.

rakam · August 2018

Bonjour !
On peut même généraliser et chercher, pour des entiers $p,q$ la valeur de $\displaystyle J(p,q)=\int_0^{+\infty}\dfrac{\sin^qt}{t^p}\mathrm{d}t$.

Par exemple $J(2,3)=\dfrac34\log3,\;J(2,5)=\dfrac5{16}\log\dfrac{27}5,\;J(3,4)=\log2$

Pour en savoir plus ci-joint les deux pages d'un problème dont j'ignore l'origine : 79406

jandri · August 2018

En utilisant la même technique que pour le cas $p=q$ et avec $\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{\cos(t)-\cos(at)}t dt=\ln(a)$ pour $a>0$ on obtient:

si $q-p$ est pair avec $q\geq p\geq1$ : $$J(p,q)=\frac{\pi(-1)^{(q-p)/2}}{2^q(p-1)!}\sum_{k=0}^{\lfloor (q-1)/2\rfloor}(-1)^k\binom{q}{k}(q-2k)^{p-1}$$

si $q-p$ est impair avec $q\geq p\geq2$ : $$J(p,q)=\frac{(-1)^{(q-p-1)/2}}{2^{q-1}(p-1)!}\sum_{k=0}^{\lfloor (q-1)/2\rfloor}(-1)^k\binom{q}{k}(q-2k)^{p-1}\ln(q-2k)$$